Задача

Стержень (рис. 128, а) защемлен одним концом.

2015-10-03 05-15-59 Скриншот экрана

Ко второму приложена сила P, которая обладает тем свой­ством, что при изгибе стержня направлена постоянно по каса­тельной к упругой линии балки. Такая сила может быть реа­лизована, например, путем установки на конце стержня поро­хового ракетного двигателя (рис. 128, б).

Требуется исследовать устойчивость системы.

Предложенная задача снова затрагивает принципиальные вопросы устойчивости упругих систем, и ее ре­шение приводит к необходимости дать новую формулировку критерия устойчивости.

Представим себе, что стержень несколько отклонился от исходного положения равновесия (рис. 356).

2015-10-03 05-20-51 Скриншот экрана

Уравнение упругой линии будет

2015-10-03 05-21-56 Скриншот экрана

откуда

2015-10-03 05-22-35 Скриншот экрана,

где 2015-10-03 05-23-52 Скриншот экрана

При х = 0 у = 0 и у' = 0.

При х= l   y = f, a у'  = φ.

Для выполнения этих условий получаем четыре уравнения:

2015-10-03 05-25-57 Скриншот экрана

Рассматривая два последних уравнения, легко установить, что независимо от выбора αl постоянные А и В равны нулю, поскольку определитель

2015-10-03 05-31-17 Скриншот экрана в нуль не обращается. Но если А = В = 0, единственной формой равновесия стержня остается исходная прямоли­нейная.

Во всех задачах, которые рассматривались выше, неиз­менно отождествлялись два понятия: «потеря устойчивости» и «существование иных форм равновесия, кроме исходной». Поэтому в данном случае мы оказываемся перед выбором: либо отказаться от привычного и глубоко укоренившегося отождествления указанных понятий, либо же принять, что система сохра­няет устойчивость при любых значе­ниях силы Р.

Правильным является первое. Исходная форма равновесия устой­чива только до некоторого значения силы Р. При силе, превышающей это значение, которое по-прежнему будем называть критическим, про­исходит переход не к новой форме равновесия, а к некоторой форме дви­жения с нарастающим отклонением от исходного положения равновесия. Критерием устойчивости является условие возникновения указанной формы движения и называется дина­мическим критерием устойчивости. Рассмотрим следующую механическую модель, показан­ную на рис. 357.

2015-10-03 05-34-58 Скриншот экрана

Два однородных стержня, имеющих массы m1 и m2, связаны между собой пружиной жесткости с. Та­кая же пружина связывает нижний стержень с шарнирной опорой. Линия действия силы Р постоянно совпадает с на­правлением оси верхнего стержня.

За обобщенные координаты примем углы поворота стер­жней  φ1  и  φ2. Тогда     перемещения центра масс каждого стержня будут:

2015-10-03 05-38-32 Скриншот экрана,

где 2l— длина каждого стержня.

Моменты инерции относительно центральных поперечных осей каждого стержня соответ­ственно равны

2015-10-03 05-41-40 Скриншот экрана

Вводя силы взаимодействия в шарнире (рис. 358), соста­вляем уравнения движения.

2015-10-03 05-42-32 Скриншот экрана

Для верхнего стержня

2015-10-03 05-43-29 Скриншот экрана (1)

Для нижнего стержня

2015-10-03 05-44-20 Скриншот экрана  (2)

Исключая y1, у2, X и Y и вы­ражая моменты инерции через массы, получим два линейных дифференциальных уравнения относительно φ1 и φ2:

2015-10-03 05-58-37 Скриншот экрана (3)

Положим, как это обычно делается,

2015-10-03 05-59-29 Скриншот экрана (4)

После подстановки приходим к двум уравнениям относительно А1 и А2:

2015-10-03 06-00-27 Скриншот экрана

Для определения условий существования ненулевых решений приравниваем нулю определитель. Это дает квадратное уравнение относительно k2:

2015-10-03 06-02-03 Скриншот экрана

Свободный член в уравнении (5) не зависит от силы Р. Следовательно, нельзя подобрать такое Р, чтобы k обрати­лось бы в нуль, а поэтому, если вернуться к выражениям (4), видно, что углы φ1 и φ2 не могут быть постоянными. Система не имеет форм равновесия, кроме исходной. Рассматриваемая модель обладает тем же свойством, что и защемленный стержень, нагруженный следящей силой.

Из уравнения (5) нетрудно также установить, что вели­чина k2 при любой силе Р остается меньше нуля. Это озна­чает, что k не имеет вещественных значений, и условия для апериодического движения отсутствуют. Примем, что

2015-10-03 06-05-05 Скриншот экрана

и найдем условие, при котором ε может быть величиной по­ложительной. Это соответствует возникновению колебательного движения с нарастающей амплитудой.

Разделяя в уравнении (5) вещественную и мнимую части, получим:

2015-10-03 06-06-21 Скриншот экрана

откуда

2015-10-03 06-07-18 Скриншот экрана

Наименьшее значение Р, при котором ε2 (а, следовательно, один из корней ε) принимает положительное значение, будет:

2015-10-03 06-08-44 Скриншот экрана

Величина критической силы зависит от распределения масс между стержнями. В случае m1=m2 μ=1. Тогда

2015-10-03 06-12-50 Скриншот экрана

Если масса первого стержня мала по сравнению с массой второго, μ = 0 и

 2015-10-03 06-13-43 Скриншот экрана

По мере уменьшения массы верхнего стержня по сравнению с массой нижнего величина  μ не­ограниченно возрастает. Так же неограниченно возрастает и Ркр. Это и понятно. В случае от­сутствия поперечных инерцион­ных сил верхний стержень бу­дет всегда находиться на одной прямой с нижним.

В системах, допускающих анализ устойчивости на основе исследования форм равновесия, т. е. в обычных системах, динамический критерий дает те же результаты, что и стати­ческий. Рассмотрим, например, ту же самую стержневую си­стему в условиях нагружения силой, сохраняющей свое направление (рис. 359).

2015-10-03 06-15-21 Скриншот экрана

В этом случае взамен уравнений (1) получаем:

2015-10-03 06-17-04 Скриншот экрана

Уравнение (2) остается неизменным. Взамен уравнений (3) будем иметь:

2015-10-03 06-17-57 Скриншот экрана

а взамен уравнения (5) получим:

2015-10-03 06-19-04 Скриншот экрана

Теперь свободный член этого уравнения зависит от силы Р и при

2015-10-03 06-20-23 Скриншот экрана

обращается в нуль. Следовательно, для k возможно суще­ствование нулевых значений и существует решение, при кото­ром φ1 и φ2 (4) не зависят от времени, т. е. существуют формы равновесия при

2015-10-03 06-23-26 Скриншот экрана

Здесь величина критической силы не зависит от распреде­ления масс, поскольку параметр μ в свободный член ура­внений (5) и (6) не входит и не может войти.

Вернемся к упругому стер­жню и составим для него ура­внение движения. К элементу стержня длиной dx (рис. 360) приложены силы и моменты в сечениях и распределенные инерционные силы интенсивности 2015-10-03 06-25-19 Скриншот экрана, где ρ — плотность материала стержня.

2015-10-03 06-24-26 Скриншот экрана

Проектируя силы на нормаль к упругой линии, получим:

2015-10-03 06-26-54 Скриншот экрана

Так как

2015-10-03 06-27-57 Скриншот экрана

то

2015-10-03 06-28-35 Скриншот экрана

ρF будем считать величиной постоянной.

Положим, что

2015-10-03 06-29-40 Скриншот экрана

где Y зависит только от координаты х. При вещественных значениях Ω движение носит характер гармонических коле­баний. Если Ω будет комплексным

2015-10-03 06-31-22 Скриншот экрана

то

2015-10-03 06-32-11 Скриншот экрана (7)

Движение, следовательно, будет происходить либо с умень­шающейся, либо с возрастающей амплитудой в зависимости от знака b.

Подставляем у в уравнение движения и вводим безраз­мерные параметры

2015-10-03 06-33-27 Скриншот экрана

тогда получим:

2015-10-03 06-34-25 Скриншот экрана (8)

Решением этого уравнения будет:

2015-10-03 06-53-10 Скриншот экрана (9),

где

2015-10-03 06-54-12 Скриншот экрана

В заделке независимо от условий нагружения имеем = 0 и 2015-10-03 06-55-43 Скриншот экранаСледовательно,

2015-10-03 06-56-41 Скриншот экрана

На свободном конце стержня изгибающий момент равен нулю, и в случае следящей силы обращается в нуль  поперечная сила. Поэтому при х = l (или при ζ= 1)

2015-10-03 06-58-56 Скриншот экрана,

что даст еще два уравнения:

2015-10-03 07-03-10 Скриншот экрана

В случае силы Pсохраняющей неизменным свое напра­вление, последнее условие выглядело бы иначе. Здесь попе­речная сила равна не нулю, а величине —2015-10-03 07-04-23 Скриншот экрана.

Приравниваем нулю определитель четырех полученных уравнений. Тогда

2015-10-03 07-05-34 Скриншот экрана

В случае силы, сохра­няющей свое направление, взамен выражения (10) по­лучим:

2015-10-03 07-06-22 Скриншот экрана

Соотношение (10) позволяет построить зависимость частоты ω собственных колебаний стержня от безразмерной силы β2 (рис. 361). На этом же графике пунктиром показано изме­нение частоты для случая неследящей силы.

2015-10-03 07-07-41 Скриншот экрана

При β = 0 имеем первую ω1 и вторую ω2 частоты соб­ственных колебаний свободного защемленного стержня. По мере увеличения неследящей силы эти частоты (и все более высокие) уменьшаются, обращаясь в нуль при силе, прини­мающей критические значения, т. е.

2015-10-03 07-09-36 Скриншот экрана

В случае следящей силы низшая частота с возрастанием Р увеличивается, и в точке А кривые первого и второго тонов смыкаются. Если расширить график в область более высоких частот, то можно увидеть, что такое же смыкание кривых имеет место для 3 и 4-й частот, 5 и 6-й и т. д.

Для определения критического значения силы Р в этом случае необходимо найти такое наименьшее значение Р, при котором имеет место кратности корней ω в уравнении (10). Это значит, что при дальнейшем увеличении β корни стано­вятся комплексными сопряженными и существует корень с отрицательной мнимой частью, т. е.Ω = a - bi. Согласно выражению (7) это соответствует появлению формы колеба­ний с нарастающей амплитудой. Из рис. 361 видно, что крат­ность корней имеет место в точке А.

Проводя числовой поиск, определяем

2015-10-03 07-13-08 Скриншот экрана

следовательно,

2015-10-03 07-13-47 Скриншот экрана

Полученный результат верен лишь при равномерном рас­пределении массы стержня по его длине. При ином распре­делении масс критическая сила будет иной. Это очень важно отметить в связи с тем, что иногда встречаются попытки определить в подобных задачах критическую силу при по­мощи различных ухищрений в обход законов динамики, чем заранее предопределяется неучет распределения масс и принципиальная неправильность решения.