Задача

Абсолютно жесткая Г-образная балка (рис. 125) подкреплена тонким упругим стержнем длины 2l.

2015-09-20 14-46-32 Скриншот экрана

Исследовать устойчивость системы.

Система в малом всегда устойчива.

Рассмотрим систему в отклоненном положении (рис. 343).

2015-09-20 14-51-34 Скриншот экрана

Силу, сжимающую упругий стержень, обозначим через R.

Приравняв нулю сумму моментов сил относительно точки О, получим

P • 2sin φ = R • ОA.            (1)

Воспользуемся, далее, известным правилом, что сумма проек­ций отрезков ломаной равна проекции замыкающей, и спроек­тируем замкнутый четырехугольник ODCB сначала на вер­тикальную, а затем на горизонтальную ось. Получим

2015-09-20 15-27-46 Скриншот экрана (2)

откуда имеем

2015-09-20 15-28-33 Скриншот экрана

Далее, находим

2015-09-20 15-29-14 Скриншот экрана

Таким образом, выражение (1) принимает вид

2015-09-20 15-30-08 Скриншот экрана (3)

Очевидно, отрезок ВС = 2l—λ, где λ— сближение концов упругого стержня. Возводя в квадрат равенства (2) и скла­дывая их, находим

2015-09-20 15-31-51 Скриншот экрана(4)

Сила Rвходящая в выражение (3), зависит от λ. Эту зависимость определяем из уравнений гибкого упругого стержня, получающего большие перемещения (см. решение ранее решенной задачи). При s = 0 имеем 2015-09-20 15-35-25 Скриншот экрана, и из уравнения (4) (ранее решенная задача) вытекает, что 2015-09-20 15-36-38 Скриншот экрана.

При s = 0 имеем ζ = 0, и из (3) (ранее решенная задача) получаем: ψ0 = 0.

Укорочение стержня λ будет равно λ = 2l — 2x. Из (6) (ранее решенная задача) находим

2015-09-20 15-40-09 Скриншот экрана

Из (5) (ранее решенная задача) получаем

2015-09-20 15-49-40 Скриншот экрана

Задаемся несколькими значениями модуля эллиптических инте­гралов  k и по таблицам находим 2015-09-20 15-51-50 Скриншот экрана  и 2015-09-20 15-52-22 Скриншот экрана , а затем β и 2015-09-20 15-51-14 Скриншот экрана. Составляем таблицу:

2015-09-20 15-53-27 Скриншот экрана

В последней строке таблицы приведено отношение силы R, сжимающей стержень, к эйлеровой силе 2015-09-20 15-55-05 Скриншот экрана. Зави­симость  2015-09-20 15-55-50 Скриншот экрана   показана на графике рис. 344.

2015-09-20 15-56-24 Скриншот экрана

Теперь задаемся несколькими значениями угла φ и из уравнения (4) определяем 2015-09-20 15-51-14 Скриншот экраназатем по графику находим 2015-09-20 15-58-15 Скриншот экрана, а из уравнения (3) отношение 2015-09-20 15-59-02 Скриншот экрана. Таким образом, полу­чаем зависимость 2015-09-20 15-59-56 Скриншот экрана, показанную на графике рис. 345.

2015-09-20 16-05-46 Скриншот экрана

Смысл этой кривой тот же, что и кривых рис. 338 и 342, полученных при решении двух предыдущих задач (см. — здесь и здесь). Однако здесь в отличие от рассмотренных случаев кривая пересекает ось абсцисс. Это означает, что даже при силе Р = 0 система может перейти в новое положение равновесия, если ее от­клонить достаточно сильно. При 2015-09-20 16-04-35 Скриншот экрана имеем φ0 = 63,5°, что соответствует расположению точек ОВС на одной пря­мой (рис. 346).

2015-09-20 16-06-28 Скриншот экрана

При большой силе Р отклонение, которое необходимо сообщить системе, чтобы она не вернулась в исходное положение, будет малым. Если точность установки и дальнейшие внешние силовые воздействия таковы, что гарантируют отсут­ствие углов отклонения, превышающих 5°, согласно графику, можно сказать, что предельная сила Р, которую способна выдержать система, будет больше, чем 5Рэ.

В отличие от рассмотренных ранее задач (см. — здесь и здесь) кри­тическая сила не ограничена и сверху. Это является след­ствием неучета сжимаемости упругого стержня. Если учесть сжимаемость, то легко установить, что система становится неустойчивой в малом при

2015-09-20 16-08-21 Скриншот экрана,

где F— площадь сечения упругого стержня.