Задача

Невесомая балка (рис. 124), защемленная одним концом, свободно лежит на жестком основании.

2015-09-19 13-56-47 Скриншот экрана

На свободном конце в его центре балка нагружена силой Р, направ­ленной под углом δ к жесткому осно­ванию. Спрашивается, при каком значе­нии Р (при заданном δ) балка потеряет устойчивость?

При решении задачи необходимо отдельно рассмо­треть форму равновесия (А) (рис. 340), при которой конец балки остается прижатым к плоскости.

2015-09-19 14-01-23 Скриншот экрана

Переход от  прямолинейной формы к этой форме равновесия произой­дет, как известно, при про­дольной силе

2015-09-19 14-02-19 Скриншот экрана

Теперь рассмотрим фор­мы равновесия типа (Б) (рис. 340). Ясно, что переход к подобной форме равновесия не может быть осуществлен малым (сколь угодно малым) отклонением системы от началь­ного положения. Действительно, сообщая концу балки некото­рое отклонение с тем, чтобы балка не вернулась в начальное положение и приняла форму типа (Б), мы должны подо­брать это отклонение доста­точно большим, чтобы мо­мент силы cos δ, уводящий балку от начального поло­жения, оказался больше восстанавливающего момента силы P sin δ. Иными словами, мы должны дать смещение, большее некоторой заданной величины. После этого си­стема, предоставленная самой себе, не вернется в началь­ное положение.

Теперь посмотрим, при каких условиях возможны для балки формы равновесия типа (Б). В нашем случае воз­можно существование упругой линии только в таком виде, когда все точки изогнутого бруса будут находиться выше горизонтальной плоскости. Здесь имеются две возможно­сти: брус изогнут целиком (рис. 341, Б1) и брус изогнут ча­стично (Б2).

2015-09-19 14-06-03 Скриншот экрана

Рассмотрим первый случай ). На конце балки при s = l  кривизна равна нулю 2015-09-17 22-44-44 Скриншот экрана.

Поэтому из (4) предыдущей задачи  следует, что

2015-09-19 14-09-46 Скриншот экрана

При s = 0 имеем ζ =— δ. Из (3) предыдущей задачи (при ссылках на предыдущую задачу см. — здесь) получаем:

2015-09-19 14-11-51 Скриншот экрана (1),

а из (1) и (5) предыдущей задачи

2015-09-19 14-12-53 Скриншот экрана (2)

Координаты конца бруса в системе х'у' согласно (6)  предыдущей задачи будут:

2015-09-19 14-14-01 Скриншот экрана (3)

Из первого выражения (7) предыдущей задачи находим горизонтальное перемещение точки приложения силы:

2015-09-19 14-15-44 Скриншот экрана (4)

Теперь для форм равновесия ) можно при некоторых δ (10°, 20°, 30°) построить зависимость 2015-09-19 14-17-15 Скриншот экрана от 2015-09-19 14-17-56 Скриншот экрана. Для этого, задаваясь значениями kиз (1) находим ψ0. Из (2) по таблицам эллиптических интегралов находим 2015-09-19 14-17-15 Скриншот экрана, а из (3) и (4) — величину 2015-09-19 14-17-56 Скриншот экрана.

На рис. 342 показаны три кривые.

2015-09-19 14-20-21 Скриншот экрана

При их построении учитывается, что для формы равновесия типа 1) сила Р проходит выше начала координат и ψ0 остается больше —π/2.

Штриховая кривая на рис. 342 ограничивает эти кривые сверху. При больших значениях 2015-09-19 14-17-15 Скриншот экрана искомая зависимость должна определяться соответственно форме равновесия типа . В этом случае в точке О (рис. 341) ψ0 = —π/2 и вместо (1) будем иметь

2015-09-19 14-24-20 Скриншот экрана (1')

Вместо (2) получаем

2015-09-19 14-25-14 Скриншот экрана (2')

Вместо (3) и (4) находим:

2015-09-19 14-26-16 Скриншот экрана

Таким образом, здесь из (1') находим k. Для некоторого произвольного 2015-09-19 14-17-15 Скриншот экрана из (2′) находим  2015-09-19 14-27-55 Скриншот экрана, а из (3') и (4') находим 2015-09-19 14-17-56 Скриншот экрана.

Результаты подсчетов показаны кривыми рис. 342,  рас­положенными выше пунктирной линии. Обсудим полученные результаты. Если δ = 0, происходит потеря устойчивости по Эйлеру при

2015-09-19 14-29-08 Скриншот экрана

При δ ≠ 0 потеря устойчивости при 2015-09-19 14-30-01 Скриншот экрана  происходит только в большом. Величина отклонения, которую необхо­димо сообщить балке, чтобы она перешла в новое положение равновесия, уменьшается с ростом силы Р. Вместе с тем потеря устойчивости (в зависимости от δ) не может произойти при силе, меньшей определенной величины. Так, при

2015-09-19 14-31-24 Скриншот экрана

Во всяком случае Ркр определяется как вероятное в интервале

2015-09-19 14-32-14 Скриншот экрана.

причем Ркр=  (δ).