Невесомая балка (рис. 124), защемленная одним концом, свободно лежит на жестком основании.
На свободном конце в его центре балка нагружена силой Р, направленной под углом δ к жесткому основанию. Спрашивается, при каком значении Р (при заданном δ) балка потеряет устойчивость?
При решении задачи необходимо отдельно рассмотреть форму равновесия (А) (рис. 340), при которой конец балки остается прижатым к плоскости.
Переход от прямолинейной формы к этой форме равновесия произойдет, как известно, при продольной силе
Теперь рассмотрим формы равновесия типа (Б) (рис. 340). Ясно, что переход к подобной форме равновесия не может быть осуществлен малым (сколь угодно малым) отклонением системы от начального положения. Действительно, сообщая концу балки некоторое отклонение с тем, чтобы балка не вернулась в начальное положение и приняла форму типа (Б), мы должны подобрать это отклонение достаточно большим, чтобы момент силы P cos δ, уводящий балку от начального положения, оказался больше восстанавливающего момента силы P sin δ. Иными словами, мы должны дать смещение, большее некоторой заданной величины. После этого система, предоставленная самой себе, не вернется в начальное положение.
Теперь посмотрим, при каких условиях возможны для балки формы равновесия типа (Б). В нашем случае возможно существование упругой линии только в таком виде, когда все точки изогнутого бруса будут находиться выше горизонтальной плоскости. Здесь имеются две возможности: брус изогнут целиком (рис. 341, Б1) и брус изогнут частично (Б2).
Рассмотрим первый случай (Б). На конце балки при s = l кривизна равна нулю .
Поэтому из (4) предыдущей задачи следует, что
При s = 0 имеем ζ =— δ. Из (3) предыдущей задачи (при ссылках на предыдущую задачу см. — здесь) получаем:
а из (1) и (5) предыдущей задачи
Координаты конца бруса в системе х'у' согласно (6) предыдущей задачи будут:
Из первого выражения (7) предыдущей задачи находим горизонтальное перемещение точки приложения силы:
Теперь для форм равновесия (Б) можно при некоторых δ (10°, 20°, 30°) построить зависимость от
. Для этого, задаваясь значениями k, из (1) находим ψ0. Из (2) по таблицам эллиптических интегралов находим
, а из (3) и (4) — величину
.
На рис. 342 показаны три кривые.
При их построении учитывается, что для формы равновесия типа (Б1) сила Р проходит выше начала координат и ψ0 остается больше —π/2.
Штриховая кривая на рис. 342 ограничивает эти кривые сверху. При больших значениях искомая зависимость должна определяться соответственно форме равновесия типа (Б. В этом случае в точке О (рис. 341) ψ0 = —π/2 и вместо (1) будем иметь
Вместо (2) получаем
Вместо (3) и (4) находим:
Таким образом, здесь из (1') находим k. Для некоторого произвольного из (2′) находим
, а из (3') и (4') находим
.
Результаты подсчетов показаны кривыми рис. 342, расположенными выше пунктирной линии. Обсудим полученные результаты. Если δ = 0, происходит потеря устойчивости по Эйлеру при
При δ ≠ 0 потеря устойчивости при происходит только в большом. Величина отклонения, которую необходимо сообщить балке, чтобы она перешла в новое положение равновесия, уменьшается с ростом силы Р. Вместе с тем потеря устойчивости (в зависимости от δ) не может произойти при силе, меньшей определенной величины. Так, при
Во всяком случае Ркр определяется как вероятное в интервале
причем Ркр= f (δ).