Задача

Стержень, имеющий плоские торцы, сжимается между двумя плитами (рис. 123, а).

2015-09-14 22-28-22 Скриншот экрана

При потере устойчивости возможны две основные криволинейные формы равновесия: первая—показанная на рис. 123, б, при критической силе 2015-09-14 22-29-57 Скриншот экрана

и вторая форма, показанная на рис. 123, в, когда стержень опи­рается о плоскости только углами.

Очевидно, если торцы не очень широки, потеря устойчивости по 2-й форме произойдет при силе меньшей, чем в первом случае. В частности, если ширина торцев рав­на нулю, критическая сила будет

2015-09-14 22-31-09 Скриншот экрана

Определите низшую критическую силу в случае, если ши­рина каждого торца равна 2е.

Предложенная задача затрагивает принципиально новые вопросы устойчивости и не может быть решена обыч­ными методами.

Действительно, приводя сжимающие силы, показанные на рис. 123, в, к оси стержня, получим следующую схему нагружения (рис. 335).

2015-09-14 22-34-03 Скриншот экрана

Стержень сжимается силами Р и одновременно изгибается двумя моментами М = Ре в сторону, обратную повороту торцов. Уравнение упругой линии будет:

2015-09-14 22-35-25 Скриншот экрана

или

2015-09-14 22-36-11 Скриншот экрана

 откуда

2015-09-14 22-36-58 Скриншот экрана

При х = 0 прогиб у = 0, как и при х = 2l , следовательно

2015-09-14 22-41-01 Скриншот экрана

Таким образом, получаются вполне определенные значения прогибов, которые имел бы стержень, если к нему с самого начала нагружения были бы приложены моменты Ре, которые нарастали постепенно с ростом сил Р. В приведенных вы­кладках, таким образом, не улавливается критический переход от прямолинейной формы равновесия к криволинейной, и мы получаем в чистом виде случай продольно-поперечного изгиба.

Рассмотрим основные положения устойчивости. Упругая система называется устойчивой, если при любом, сколь угодно малом (подчеркиваем: сколь угодно малом) отклонении от по­ложения равновесия система, предоставленная самой себе, возвращается к исходному состоянию.

При этом, однако, остается открытым вопрос, вернется ли упругая система в исходное положение, если ее отклонить «посильнее», т. е. задать ей не сколь угодно малое, а просто малое, но конечное отклонение, большее некоторой наперед заданной величины (пусть даже очень малой величины). Не может ли случиться, что система при сколь угодно малых отклонениях в исходное положение возвращается, а при некоторых малых, но больших заданной величины, отклоне­ниях—не возвращается?

Действительно, это может иметь место. Механическим аналогом ска­занному может служить, например, шарик, лежащий на вершине выпуклости в маленькой лунке (рис. 336).

2015-09-14 22-48-09 Скриншот экрана

Если этому шарику дать малое отклонение, он вернется в исходное положение, а если ему сообщить достаточно большое отклонение, он в исходное положение не вернется. Если бы лунки не было, положение равновесия было бы попросту неустойчивым.

Таким образом, мы приходим к новой оценке устойчивости, основанной на сообщении системе не сколь угодно малых, а малых, но больших наперед заданной величины возмущений. Такую оценку устойчивости называют оценкой устойчивости «в большом». Обычную же оценку устойчивости, основанную на сообщении системе сколь угодно малых пере­мещений, называют оценкой «в малом».

Эта терминология перенесена в устойчивость упругих систем из общей теории устойчивости движения и в настоящее время стала общепринятой.

Стержень в рассматриваемом примере устойчив в малом, но не всегда устойчив в большом. В самом деле, если мы сообщим стержню весьма малое отклонение от прямолинейной формы равновесия, восстанавливающий момент Ре будет больше отклоняющих моментов Ру  (поскольку у может быть сделано сколь угодно малым), и по устранении причин, вы­звавших малое отклонение, стержень вернется к прямолиней­ной форме равновесия. Это будет иметь место при любом значении Р, не превышающем 2015-09-14 22-51-09 Скриншот экрана, когда стержень уже теряет устойчивость в малом по форме, показанной на рис. 123, б.

В реальных условиях внешние возмущения (искривленность стержня, нецентральность приложения сил, случайные толчки) всегда имеют конечную величину, и в зависимости от этих условий стержень переходит к новой форме равновесия при большей или меньшей силе. Поэтому понятие устойчи­вости и неустойчивости в большом неизбежно связывается с отсутствием или наличием соответствующих внешних воз­действий.

Устойчивость в большом это — расширение классической схемы и приближение ее к нашему интуитивно-повседневному представлению об устойчивости. Это — комплекс из свойств системы и возмущений, действующих на систему. Поэтому анализ возможных форм равновесия является только частью исследования устойчивости и не решает задачи полностью. Это будет видно на примере решения некоторых последующих задач.

Вернемся к заданной схеме сжатого стержня и составим уравнения упругой линии в больших перемещениях. Поскольку эти уравнения будут нужны нам и в дальнейшем, мы их вы­ведем здесь в несколько более общей форме, чем это необ­ходимо при решении рассматриваемой задачи [Этот вывод заимствован нами из книги: Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней ,Гостехиздат ,1948].

На рис. 337 показана часть сильно изогнутого силой Р стержня.

2015-09-14 22-54-52 Скриншот экрана

Введем две системы координат: систему ху, ориен­тированную по касательной и нормали к упругой линии в заделке, и систему х'у', ориентированную по силе Р.

Через δ обозначим угол между направлением силы и осью х (в нашем случае  δ = 0); ζ — текущий угол между касательной к дуге упругой линии и осью  х'.

Кривизна бруса в произвольной точке будет, очевидно, выражаться через угол ζ  таким образом:

2015-09-14 22-58-25 Скриншот экрана,

где ds  - элемент дуги бруса. Изгибающий момент в точке А равен

2015-09-14 23-00-40 Скриншот экрана,                                                                   

где у‘L — координата точки LТеперь очевидно, что

2015-09-14 23-03-09 Скриншот экрана

Дифференцируем это выражение по s:

2015-09-14 23-03-54 Скриншот экрана

Обозначим

2015-09-14 23-04-44 Скриншот экрана (1)

Тогда

2015-09-14 23-05-55 Скриншот экрана

Умножим обе части этого равенства на 2015-09-14 23-06-50 Скриншот экрана и проинтегрируем:

2015-09-14 23-07-25 Скриншот экрана (2)

Постоянную С1 обозначим через k2,sin ζ/2 — через sin ψ,

т, е.

2015-09-14 23-09-32 Скриншот экрана (3)

Тогда уравнение (2) примет вид

2015-09-14 23-10-20 Скриншот экрана (4)

Но из (3)

2015-09-14 23-11-14 Скриншот экрана

поэтому

2015-09-14 23-11-51 Скриншот экрана

Интегрируя это выражение, получаем

2015-09-14 23-12-34 Скриншот экрана (5)

Здесь через F(ψ) обозначен эллиптический интеграл первого рода

2015-09-14 23-13-19 Скриншот экрана

Значения этого интеграла даются таблицами в зависимости от и ψ.

Теперь определим уравнение упругой линии x'(s) и у'(s):2015-09-14 23-14-41 Скриншот экрана

Если же сюда подставить

2015-09-14 23-09-32 Скриншот экрана

получим:

2015-09-14 23-16-02 Скриншот экрана

Интегрируем эти выражения от нуля до s:

2015-09-14 23-16-44 Скриншот экрана (6)

где через Е(ψ) обозначен эллиптический интеграл второго рода

2015-09-14 23-18-06 Скриншот экрана

Эта функция также дается в таблицах.

Переходя к системе координат ху, получим:

2015-09-14 23-18-48 Скриншот экрана (7)

Теперь перейдем к граничным условиям для рассматри­ваемого стержня. При

s  = l имеем:  Мизг = Ре cos ζLСледо­вательно,

2015-09-14 23-21-56 Скриншот экрана

или согласно (1)

2015-09-14 23-22-36 Скриншот экрана

На основании выражения (4) имеем:

2015-09-14 23-23-12 Скриншот экрана,

но так как

2015-09-14 23-24-48 Скриншот экрана,

то из (3) получаем:

2015-09-14 23-25-47 Скриншот экрана

Таким образом, мы имеем первое граничное условие в сле­дующем окончательном виде:

2015-09-14 23-26-29 Скриншот экрана (8)

Второе граничное условие таково:

2015-09-14 23-27-13 Скриншот экрана

Выражение (5) при s = принимает вид

2015-09-14 23-28-15 Скриншот экрана (9)

Из (6) находим

2015-09-14 23-39-02 Скриншот экрана

Сближение концов стержня λ будет

2015-09-14 23-40-19 Скриншот экрана

Наибольший прогиб равен

2015-09-14 23-41-25 Скриншот экрана (10)

Теперь построим зависимость силы Р от максимального прогиба f при некотором заданном отношении 2015-09-14 23-42-39 Скриншот экрана . Порядок подсчета будет следующим. Поделим почленно уравнение (8) на (9):

2015-09-14 23-43-27 Скриншот экрана (11)

При данном  2015-09-14 23-42-39 Скриншот экрана задаемся величиной kа затем по таблицам подбираем ψL  так, чтобы было удовлетворено уравнение (11). Затем из (9) находим β, а потом

2015-09-14 23-45-36 Скриншот экрана

Из уравнения (10) определяем 2015-09-14 23-46-31 Скриншот экрана. Таким образом, получаем точку зависимости

2015-09-14 23-47-11 Скриншот экрана.

Возьмем, например, 2015-09-14 23-47-54 Скриншот экрана и составим таблицу, вы­бирая k = sin5°, sin10°, ...

2015-09-14 23-49-23 Скриншот экрана


На основании этой таблицы строим кривую, показанную на рис. 338.

2015-09-14 23-50-47 Скриншот экрана

На этом же графике построены еще две кривые.

Первая — соответствует случаю е = 0; вторая, начинающаяся в точке 2015-09-14 23-51-59 Скриншот экранасоответствует искривлению стержня по форме рис. 123, б.

Обсудим полученный результат. Кривая 2015-09-14 23-47-54 Скриншот экрана при малых прогибах падает, а затем, начиная с 2015-09-14 23-53-26 Скриншот экрана, возрастает. В точке В она пересекается с кривой 2015-09-14 23-54-18 Скриншот экрана. Эта точка является общей для всех кривых, независимо от 2015-09-14 23-54-54 Скриншот экрана.

Здесь 2015-09-14 23-55-35 Скриншот экрана, и из уравнения (11) вытекает, что при любом 2015-09-14 23-54-54 Скриншот экрана имеем cos ψL = 0. Это означает, что момент на конце стержня равен нулю и поворот торца равен 90° (рис. 339).

2015-09-14 23-57-18 Скриншот экрана

Кривая 2015-09-14 23-47-54 Скриншот экрана не пересекает оси ординат. В левой своей части она асимптотически приближается к прямой 2015-09-14 23-58-56 Скриншот экрана. Таким образом, стержень при 2015-09-14 23-59-35 Скриншот экрана всегда  устойчив в малом, если только речь идет о потере устой­чивости по форме, показанной на рис. 123, в. Но при силе 2015-09-15 00-00-44 Скриншот экрана при любом 2015-09-14 23-54-54 Скриншот экранастержень теряет устойчивость по форме рис. 123, б.

Положим теперь, что при 2015-09-14 23-47-54 Скриншот экрана стер­жень загружен, например, силой

2015-09-15 00-02-10 Скриншот экрана

Стержень при этом сохраняет прямолиней­ную форму. Попробуем его несколько отклонить от вертикали, задавая некоторое искри­вление его оси. Если это отклонение будет малым, стержень, предоставленный себе, вернется в исходное положение. Если же отклонение будет достаточно большим (большим величины 2015-09-15 00-04-06 Скриншот экрана, рис. 338), стержень примет новую криволинейную форму равновесия, соответствующую точке Е (рис. 338).

В зависимости от величины сообщенного отклонения система может вернуться к исходному положению, а может и не вернуться. Но это произойдет при силе Р, большей опреде­ленной величины. При 2015-09-14 23-47-54 Скриншот экрана это будет и при Р >1,14 Рэ (точка А рис. 338) и Р < 4 Рэ, где потеря устойчивости происходит независимо от величины сообщенного отклонения. Таким образом, мы приходим к новому понятию интервала возможных критических усилий, в котором возможен переход к новому положению равновесия: 1,14Рэ  Р < 4Рэ.

Потеря устойчивости произойдет в указанном интервале раньше или позже в зависимости от точности изготовления стержня и от того, сколь строго соблюдается центральность приложения силы Р. Но так или иначе, критические нагрузки в подобных системах определяются в указанном интервале как вероятные.

При Р ≥ 4Рэ переход к новой форме равновесия не­избежен.