Задача

Найти критическое значение силы Р для системы, показанной на рис. 122, в предположении, что изгиб стержня происходит в плоскости чертежа.

2015-09-13 12-14-46 Скриншот экрана

Жесткость пружин на растяжение равна с. Планку дли­ной  2а  рассматривать как абсолютно жесткую.

Свободную длину стержня до приложения силы Р обозначим через l0. Длина стержня в момент потери устой­чивости будет

2015-09-13 12-18-37 Скриншот экрана (1)

Рассмотрим стержень в искривленном состоянии (рис. 333, а).

2015-09-13 12-19-30 Скриншот экрана

Отбрасывая пружины, получим систему сил, дейст­вующих на планку. Эта система сил показана на рис. 333, б.

Со стороны первой пружины будет действовать сила P/2 - с а φ, а со стороны второй пружины        P/2 + с а φ,   где φ — угол поворота планки.

Каждую из этих сил раскладываем на вертикальную и горизонтальную составляющие. За малостью углов вертикаль­ные составляющие остаются приблизительно равными полным значениям сил:

2015-09-13 12-23-34 Скриншот экрана

Горизонтальные составляющие для первой и второй пружин соответственно будут:

2015-09-13 12-24-14 Скриншот экрана,

где f — перемещение конца стержня. Удерживая только пер­вые степени перемещений, получим

2015-09-13 12-25-23 Скриншот экрана

Теперь составим дифференциальные уравнения изогнутой оси стержня:

2015-09-13 12-26-23 Скриншот экрана

Соответственно этим условиям получаем:

2015-09-13 12-27-11 Скриншот экрана

Рассматривая А, В,  f и φ как неизвестные, приравниваем нулю определитель этой системы

2015-09-13 12-28-24 Скриншот экрана

откуда

2015-09-13 12-29-03 Скриншот экрана (2)

Искомая сила Pкр входит как в α , так и в l.  Подставим сюда  из (1), т. е.

2015-09-13 12-31-22 Скриншот экрана

Тогда уравнение (2) примет вид

2015-09-13 12-32-15 Скриншот экрана (3)

где

2015-09-13 12-33-06 Скриншот экрана (4)

Из этого уравнения при заданных параметрах a / l0 и k определяется l0, а затем и Pкр.

На рис. 334 показана зависимость 2015-09-13 12-36-32 Скриншот экрана от 2015-09-13 12-37-12 Скриншот экрана при нескольких значениях k

2015-09-13 12-40-11 Скриншот экрана

С увеличением 2015-09-13 12-37-12 Скриншот экрана величина Pкр возрастает. Точно так же Pкр возрастает с уменьшением k, т. е. с увеличением жесткости пружин с. При с = ∞ имеем k = 0.

Тогда, если 2015-09-13 12-41-34 Скриншот экрана, получаем

2015-09-13 12-42-19 Скриншот экрана,

т. е. Ркр  равно критической силе стержня с защемленными концами. В случае же, если 2015-09-13 12-43-19 Скриншот экрана,но с по-прежнему равно бесконечности, находим

2015-09-13 12-44-03 Скриншот экрана,

т. е. Ркр равно критической силе стержня с шарнирно за­крепленными концами.