Задача

При проектировании водонапорной башни возник вопрос об устойчивости конструкции, показанной на рис. 121.

2015-09-13 11-18-24 Скриншот экрана

При каком уровне заполнения бака жидкостью несущая мачта потеряет устойчивость?

Дифференциальное уравнение упругой линии стержня (рис. 330)

2015-09-13 11-21-01 Скриншот экрана

будет следующим:

2015-09-13 11-21-55 Скриншот экрана    (1)

Сила Р равна, очевидно, весу жидкости P = γ π R2hгде  γ— удельный вес жидкости.

Момент М определяется суммированием моментов элемен­тарных сил dP (рис. 331) относительно оси z.

2015-09-13 11-55-17 Скриншот экрана

Угол φ пово­рота бака предполагается малым. После интегрирования получим:

2015-09-13 11-56-11 Скриншот экрана  (2)

Решаем уравнение (1)

2015-09-13 11-57-05 Скриншот экрана

Эти условия дают:

2015-09-13 11-58-19 Скриншот экрана

Из двух последних уравнений получаем:

2015-09-13 11-59-18 Скриншот экрана

Подставляя значение Р, получаем:

2015-09-13 12-00-13 Скриншот экрана

Тогда искомая величина  h/ l   определяется из трансцендентного уравнения

2015-09-13 12-01-48 Скриншот экрана (3)

и зависит от двух параметров:

2015-09-13 12-02-36 Скриншот экрана

В зависимости от них в каждом конкретном случае может быть найден уровень жидкости, при котором происходит потеря  устойчивости.

Если бы заполнение бака не обладало свойствами теку­чести, например, если бы бак заполнялся песком, момент М был бы меньше, чем (2), а именно:

2015-09-13 12-05-04 Скриншот экрана

Это привело бы к заметному повышению критической на­грузки. Разница в критических силах будет тем больше, чем больше диаметр бака. Подвижность заполнения приводит к тому, что и в схеме, показанной на рис. 332, также воз­можна потеря устойчивости.

2015-09-13 12-06-01 Скриншот экрана

Критический уровень наполне­ния  h/ l   определяется из того же трансцендентного уравне­ния (3) с заменой кругового тангенса гиперболическим.