Задача

Защемленный одним концом стержень нагружен на другом двумя равными и противоположно направленными мо­ментами, создаваемыми четырьмя грузами Р (рис. 118).

2015-09-07 21-31-32 Скриншот экрана

Ис­следовать устойчивость системы.

Тема предложенной задачи тa же, что и предыдущей задачи.

В исходном состоянии моменты взаимно уравновешены, и стержень ненапряжен. Однако при отклонении системы моменты ведут себя по-разному. При изгибе в плоскости хz (рис. 327) плоскость момента М2 поворачивается вместе с торцевым сечением. Плоскость же мо­мента М1 остается неизменной. При изгибе в плоскости ху плоскость М2 не меняется, а по­ворачивается плоскость дей­ствия момента М1.

2015-09-07 21-37-17 Скриншот экрана

Примем для простоты, что длины тросов, через которые передаются силы P, достаточно велики. Это позволяет считать, что поворот момента М1 в одной плоскости и М2 — в другой плоскости полностью совпадает с поворотом торцового сечения.

Обозначим углы поворота этого сечения относительно осей у и z соответственно через φу и  φz. Тогда моменты в текущем сечении А относительно подвижных осей у1 и z1 будут:

2015-09-07 21-40-49 Скриншот экрана

Получаем в итоге два уравнения:

2015-09-07 21-41-30 Скриншот экрана (1)

Так как Jy = Jz = J , а М1М2, то

2015-09-07 21-44-04 Скриншот экрана

откуда

2015-09-07 21-45-23 Скриншот экрана

При х = 0  z = 0, z' = 0, у = 0, у' = 0, поэтому А1 = А= 0; В1 = В= 0. При х = у' = φz и z' = φy; тогда

2015-09-07 21-50-42 Скриншот экрана

Очевидно, что φу и φz не равны нулю только в том случае, если

2015-09-07 21-52-41 Скриншот экрана

что и дает значение критического момента.