Задача

Кольцо находится под действием внешней равно­мерно распределенной нагрузки (рис. 115).

2015-09-02 21-37-50 Скриншот экрана

Будет ли какое-нибудь различие в значениях крити­ческой нагрузки, если она создается давлением, которое постоянно на­правлено по нормали к дуге кольца, или если она создается радиальными силами, направленными постоянно к центру?

2015-09-02 21-38-34 Скриншот экрана

Первый вид нагружения может быть реализован, например, при дав­лении воздуха, подаваемого в рези­новый кольцевой мешок (рис. 116, а), а второй — системой большого числа упругих нитей, проходящих через центрально расположенную неподвижную втулку (рис. 116,б).

Рассмотрим условия равновесия изогнутого элемента кольца длиной ds (рис. 325).

2015-09-02 21-42-32 Скриншот экрана

В сечениях кольца возникает поперечная сила Qизги­бающий момент М и нормальная сила, которая представлена в виде суммы докритической силы qR и малого добавка N.

Та или иная особенность пове­дения внешней нагрузки учиты­вается введением нормальной qn  и касательной qt  составляю­щих. В частности, если кольцо нагружено силами давления газа или жидкости, q= q= 0. Че­рез Rобозначен новый мест­ный радиус кривизны элемента

2015-09-02 21-46-22 Скриншот экрана (1)

где 2015-09-02 21-48-54 Скриншот экрана  изменение кривизны дуги кольца.

Составляем уравнения равновесия элемента:

2015-09-02 21-49-31 Скриншот экрана

Исключаем 1/R1  и, учитывая, что 2015-09-02 21-48-54 Скриншот экрана, Q  и — величины малые, удерживаем только их первые степени. Тогда

2015-09-02 21-51-04 Скриншот экрана

Так как  2015-09-02 21-51-52 Скриншот экрана,то, исключая далее и Q, получим:

2015-09-02 21-52-44 Скриншот экрана (2)

Положим, что кольцо нагружено давлением, следящим за нормалью к поверхности. Тогда, как уже говорилось, q n =  qt = 0 и

2015-09-02 21-54-55 Скриншот экрана

Принимая 2015-09-02 21-55-42 Скриншот экрана, находим:

2015-09-02 21-56-18 Скриншот экрана

откуда

2015-09-02 21-58-51 Скриншот экрана

Наименьшее ненулевое значение величина qкp принимает при п = 2. В результате получаем:

2015-09-02 21-59-42 Скриншот экрана

Рассмотрим теперь другой способ создания нагрузки q. Предположим, что кольцо нагружено радиальными усилиями, создаваемыми при помощи множества резиновых нитей, соб­ранных в центре в узел (рис. 116, б). В этом случае нагрузка следит за центром кольца. При повороте дуги ds образуется составляющая касательной нагрузки

2015-09-02 22-00-47 Скриншот экрана,

где wрадиальное перемещение точек кольца.

Если нити достаточно податливы или если каждая из них натягивается самостоятельно, то при возникновении переме­щений нормальная составляющая внешних сил меняться не будет и, следовательно, qn0.

Изменение кривизны 2015-09-02 21-48-54 Скриншот экрана выражается через следующим образом:

2015-09-02 22-02-08 Скриншот экрана

и уравнение (2) принимает вид

2015-09-02 22-03-00 Скриншот экрана (3)

Полагая  2015-09-02 22-08-07 Скриншот экрана, получим:

2015-09-02 22-08-51 Скриншот экрана

при  п = 2

2015-09-02 22-10-21 Скриншот экрана,

т. е. критическая нагрузка оказывается в 1,5 раза выше, чем при гидростатическом нагружении.

Если нити, обладающие некоторой жесткостью, натяги­ваются общим грузом, то при изгибе кольца происходит перераспределение усилий. В области положительных w нити дополнительно растягиваются, а в области отрицательныхукорачиваются. Возникает изменение нормальной составляю­щей qn. Тогда в уравнении (3) получаем дополнительное слагае­мое qn= K wгде К — коэффициент жесткости нитей. В итоге

2015-09-02 22-11-37 Скриншот экрана

Увеличение жесткости нитей К приводит к повышению критической нагрузки. Оно и понятно. Образующиеся до­полнительные усилия направлены так, что восстанавливают круговую форму кольца. Низшее критическое значение qкp  достигается, вообще говоря, уже не при n = 2, а при неко­тором другом, целочисленном  n, зависящем от величины К.