Задача

Длинный упругий стержень с шарнирно закреплен­ными концами вставлен с зазором Δ в жесткую трубу (рис. 108).

2015-08-27 12-39-23 Скриншот экрана

Спрашивается, какие напряжения возникнут в стержне, если его сжимать силой, большей, чем первая критическая сила, т. е. большей, чем 2015-08-27 12-41-02 Скриншот экрана ? Жесткость стержня на из­гиб EJ.

При силе 2015-08-27 12-44-09 Скриншот экрана стержень теряет устойчивость и затем средней своей частью касается стенок трубы.

Примем, что при 2015-08-27 12-45-29 Скриншот экрана существует зона l2   плотного прилегания стержня к стенкам трубы (рис. 314).

2015-08-27 12-51-41 Скриншот экрана

Составим уравнение упругой линии стержня на участке 0 ≤ х ≤ l

2015-08-27 12-54-03 Скриншот экрана

при х = 0   у = 0

при х = l1    у = Δ

при х = l1   у’ = 0,

откуда В = 0.

2015-08-27 12-59-53 Скриншот экрана

На участке l стержень остается прямым. Следовательно, на этом участке Мизг = 0. Поэтому согласно рис. 314

2015-08-27 13-01-24 Скриншот экрана

откуда

2015-08-27 13-02-05 Скриншот экрана.

Из уравнений (1) находим:

2015-08-27 13-03-10 Скриншот экрана

из выражения (2) следует, что при l1 = / 2

2015-08-27 13-04-42 Скриншот экрана (4)

Это означает, что в случае

2015-08-27 13-05-39 Скриншот экрана

стержень соприкасается со стенкой только в одной точке и лишь при

2015-08-27 13-08-01 Скриншот экрана происходит прилегание по участку.

Если средний прямой участок станет достаточно длинным, то на нем также может произойти потеря устойчивости. Определим, при какой длине это произойдет. Критическая сила для среднего участка будет

2015-08-27 13-08-47 Скриншот экрана

Но, с другой стороны,2015-08-27 13-09-42 Скриншот экрана. Приравнивая эти силы, находим

2015-08-27 13-10-32 Скриншот экрана

После того как средний участок изогнется, l скачком изменит свое значение и станет равным l/6. Рассматривая теперь каждую треть стержня как новый самостоятельный стержень, мы можем сохранить полученные выше уравнения, заменив в них l на l/3 . Выражение (4) при этом даст:

2015-08-27 13-12-53 Скриншот экрана

Это означает, что при

2015-08-27 13-22-20 Скриншот экрана

начинается снова прилегание стержня к стенкам по участкам. При

2015-08-27 13-23-01 Скриншот экрана

стержень соприкасается со стенками в трех точках.

При разгрузке стержень отойдет от верхней стенки не при силе 2015-08-27 13-24-01 Скриншот экрана, а очевидно, при 2015-08-27 13-24-51 Скриншот экрана.

На рис. 315 показаны основные формы равновесия стержня и даны интервалы изменения сил при нагрузке и разгрузке.

2015-08-27 13-25-46 Скриншот экрана

При любых значениях силы Р изогнутые участки стержня от точки перегиба до соседней точки прилегания к стенке имеют длину l и описываются выражением (3), составленным для крайнего левого участка. Изгибающий момент

2015-08-27 13-27-14 Скриншот экрана

имеет максимальное значение 2015-08-27 13-27-59 Скриншот экрана.

Наибольшее напряжение равно

2015-08-27 13-28-41 Скриншот экрана,

где — момент сопротивления сечения.

Если стержень имеет круглое поперечное сечение, то

2015-08-27 13-29-28 Скриншот экрана (5)

Рассмотрим два примера.

1) Положим, что сила Р, сжимающая стержень, равна

2015-08-27 13-30-21 Скриншот экрана

Из рисунков (рис. 315) видим, что в интервале

2015-08-27 13-31-09 Скриншот экрана

Выражение (5) дает

2015-08-27 13-33-31 Скриншот экрана

2) Положим, что сила  2015-08-27 13-34-34 Скриншот экрана. В интервале

2015-08-27 13-35-47 Скриншот экрана

l1 зависит от Р. Следовательно, согласно выражению (2)

2015-08-27 13-36-58 Скриншот экрана

Тогда из формулы (5)

2015-08-27 13-37-36 Скриншот экрана