Задача

Рассмотрим следующую задачу. Стержень (рис. 106), имеющий на концах закругления радиуса R, сжимается без трения между двумя жесткими плитами.

2015-08-26 13-10-14 Скриншот экрана

Требуется определить критическую силу.

Принимая за ось х линию действия сжимающих сил и обозначая через у поперечное смещение оси бруса, получим, как обычно,

2015-08-26 13-11-32 Скриншот экрана

На концах стержня перемещение у пропорционально углу поворота у', т. е.

у = — R y’    при х = 0;

так как положительному углу поворота у' соответствует от­рицательное смещение у, перед Ryпоставлен знак минус.

Таким образом, получаем:

2015-08-26 13-14-33 Скриншот экрана

Кроме того, 2015-08-26 13-15-21 Скриншот экрана; здесь у положительно при положительном у'. Следовательно,

2015-08-26 13-16-16 Скриншот экрана

Так как А ≠ 0, находим:

2015-08-26 13-17-53 Скриншот экрана (1)

В зависимости от отношения 2015-08-26 13-18-54 Скриншот экрана из этого трансцендентного уравнения определяем наименьшее отличное от нуля значе­ние 2015-08-26 13-23-13 Скриншот экрана, а затем находим и критическую силу.

Поскольку 2015-08-26 13-20-11 Скриншот экрана, критическая сила равна 

2015-08-26 13-20-58 Скриншот экрана (2),

здесь вместо 2015-08-26 13-23-13 Скриншот экрана должен быть подставлен первый (наименьший) корень уравнения (1).

Теперь определим наименьший корень 2015-08-26 13-23-13 Скриншот экрана уравнения (1) в функции от 2015-08-26 13-18-54 Скриншот экрана. Эту зависимость удобнее всего установить, задаваясь несколькими значениями 2015-08-26 13-23-13 Скриншот экрана и определяя далее 2015-08-26 13-18-54 Скриншот экрана из уравнения (1). Результаты подсчетов представлены в виде кривой на рис. 107.

2015-08-26 13-26-26 Скриншот экрана

Из нее находим, что 2015-08-26 13-27-17 Скриншот экрана и, следовательно, из (2)

2015-08-26 13-28-13 Скриншот экрана

Критическая сила равна обычной силе Эйлера, что и следо­вало ожидать.

По мере увеличения 2015-08-26 13-18-54 Скриншот экрана величина 2015-08-26 13-23-13 Скриншот экрана  возрастает. Увеличи­вается, следовательно, и критическая сила. Это тоже представляется достаточно очевидным. Но при 2015-08-26 13-29-51 Скриншот экранакак сле­дует из кривой, критическая сила внезапно падает до нуля и затем по мере увеличения радиуса снова начинает возрастать, достигая в пределе при 2015-08-26 13-31-30 Скриншот экранаснова значения эй­леровой силы.

Истолкуйте полученный результат.

Рассмотрим хорошо знакомую формулу: «берем наименьший, отличный от нуля корень уравнения ...»

Это выражение из-за своей очевидности приобрело, образно говоря, «кодовый» характер и над его содержанием обычно не задумываются.

В самом деле, «наименьший» — потому, что нас интере­сует первое, наименьшее значение критической силы. «Отлич­ный от нуля» — потому, что при нулевом значении корня мы получаем исходную нулевую форму равновесия. Та­кое решение не представляет интереса.

В рассматриваемой си­стеме при 2015-08-26 13-35-04 Скриншот экрана нужно брать именно нулевое значе­ние 2015-08-26 13-23-13 Скриншот экрана. При отсутствии сил трения система представляет собой механизм. Стержень теряет устойчивость как жесткое целое при сколь угодно малой силе Р.

При 2015-08-26 13-29-51 Скриншот экрана оба торца очерчены дугами круга, центр которого нахо­дится на середине стержня (рис. 312, а).

2015-08-26 13-36-44 Скриншот экрана

Это предельное значение параметра 2015-08-26 13-18-54 Скриншот экрана, с дальнейшим увеличением которого появляются изгибные формы потери устойчивости. Таким образом, при отсутствии сил трения критические состояния характеризуются на диаграмме (рис. 313) кривой ОАВ.

2015-08-26 13-38-05 Скриншот экрана

По мере увеличения радиуса  R потеря устойчивости про­исходит все с большим и большим искривлением стержня при наличии поперечного скольжения торцов или свободного по­перечного смещения плит. В пределе при R = ∞ потеря устойчивости происходит по форме, показанной на рис. 312, б, т. е. при 2015-08-26 13-40-43 Скриншот экранаи, следовательно, 2015-08-26 13-41-20 Скриншот экрана.

Если плиты не могут свободно смещаться в поперечном направлении, а силы трения достаточны, чтобы не допустить проскальзывания, то критическое состояние стержня в зави­симости от 2015-08-26 13-18-54 Скриншот экрана характеризуется кривой С (рис. 313).

При 2015-08-26 13-31-30 Скриншот экрана  потеря устойчивости происходит по форме рис. 312, в; при этом 2015-08-26 13-42-56 Скриншот экрана, следовательно, 2015-08-26 13-43-39 Скриншот экрана.