Задача

Через трубу, шарнирно закрепленную по концам (рис. 105), прогоняется жидкость удельного веса γ.

2015-08-25 21-16-14 Скриншот экрана

Покажите, что при некотором значении скорости жидкости v труба те­ряет устойчивость, подобно тому как теряет устойчивость стержень по Эйлеру.

Положим, что труба по какой-либо причине несколько искривилась. На рис. 311 показано это искривление, причем кривизна взята положительной.

2015-08-25 21-19-17 Скриншот экрана

На отрезке трубы dx в данный момент времени находится масса жидкости

2015-08-25 21-20-12 Скриншот экрана (1), где — площадь сечения трубы «в свету».

При кривизне канала 2015-08-25 21-21-41 Скриншот экрана текущая жидкость на участке dx даст инерционную силу

2015-08-25 21-22-45 Скриншот экрана,

направленную от центра кривизны. Интенсивность инерцион­ной силы, т. е. сила, отнесенная к единице дуги, будет:

2015-08-25 21-23-33 Скриншот экрана

Знак минус взят, поскольку сила при положительной кривизне направлена против перемещения у. Но известно, что

2015-08-25 21-24-14 Скриншот экрана

Следовательно,

2015-08-25 21-24-53 Скриншот экрана

Обозначим

2015-08-25 21-25-38 Скриншот экрана

Тогда получим:

2015-08-25 21-26-11 Скриншот экрана,

откуда

2015-08-25 21-26-46 Скриншот экрана

При х = 0 и х = l  имеем 2015-08-25 21-28-49 Скриншот экрана. Из этих условий получаем:

2015-08-25 21-29-47 Скриншот экрана

Весьма любопытно, что потеря устойчивости происходит по синусоиде, т. е. так же, как и при осевом сжатии. Кроме того, потеря устойчивости происходит при той скорости, при которой отдача струи как раз равна критической силе Эйлера. Действительно, отдача струи, т. е. реактивная сила струи, равна, как известно,

2015-08-25 21-30-41 Скриншот экрана,

где 2015-08-25 21-31-45 Скриншот экрана -  секундный расход массы, a v — скорость истече­ния. (Между прочим, по этой формуле определяется тяга ракетного двигателя.) Согласно (1)

2015-08-25 21-32-51 Скриншот экрана

Подставляя сюда v из (2), получим, что сила отдачи струи равна критической силе Эйлера 2015-08-25 21-34-10 Скриншот экрана

Не следует, однако, полагать, что труба сжимается силой отдачи. Труба теряет устойчивость, не испытывая сжимающего усилия, по­добно тому как это имеет место в случае, рассмотренном в задаче  - см. здесь.