Задача

Известно, что длинный прямой стержень, закручи­ваемый двумя моментами, может при определенных условиях потерять устойчивость. Такого рода потеря устойчивости наиболее наглядно проявляется при кручении нитей и кана­тов. Если нить закручивать, то она очень быстро примет криволинейную форму, примерно такую, как показано на рис. 98.

2015-08-19 21-37-45 Скриншот экрана

Совершенно очевидно, что если нить при кручении натягивать, то крутящий момент, при котором происходит потеря устойчивости, заметно увеличивается. В процессе навивки канат всегда необходимо натягивать.

2015-08-19 21-40-21 Скриншот экрана

На примере шарнирно закрепленного стержня (рис. 99) определите величину критического крутящего момента и уста­новите, как он зависит от растягивающей силы.

Составляем дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса, полагая, что перемещения малы.

Введем систему координат х, у, z (рис. 306).

2015-08-19 21-43-49 Скриншот экрана

В сечении х изгибающие моменты от силы Р и момента М будут:

2015-08-19 21-44-40 Скриншот экрана

Знак «плюс» или «минус» перед моментом берется в зависи­мости от того, направлен ли момент в сторону увеличения или уменьшения положительной кривизны в соответствующей плоскости изгиба.

Если принять, что жесткости на изгиб в плоскостях ху и xz одинаковы, то уравнения упругой линии можно напи­сать в виде

2015-08-19 21-45-53 Скриншот экрана (1)

Решение этой системы возьмем в виде

2015-08-19 21-46-43 Скриншот экрана,

где α1 и α2 — корни квадратного уравнения

2015-08-19 21-48-38 Скриншот экрана (2)

В случае шарнирного закрепления стержня имеем следующие граничные условия:

2015-08-19 21-49-34 Скриншот экрана

Отсюда получаем четыре уравнения:

2015-08-19 21-50-18 Скриншот экрана

Приравнивая нулю определитель этой системы, получаем:

2015-08-19 21-51-11 Скриншот экрана,

или

2015-08-19 21-52-02 Скриншот экрана

Но согласно уравнению (2)

2015-08-19 21-52-47 Скриншот экрана,

следовательно,

2015-08-19 21-53-21 Скриншот экрана

где Рэ — эйлерова сила

2015-08-19 21-54-11 Скриншот экрана

Таким образом, при увеличении растягивающей силы Р кри­тический момент возрастает. Если сила Р — сжимающая, момент М уменьшается. При сжимающей силе Р = Рэ вели­чина Мкр, как и следовало ожидать, равна нулю.