Задача

Плоская шарнирная рама, состоящая из жестких стержней, подкреплена двумя соединенными между собой упругими диагоналями (рис. 97), каждая из которых имеет длину 2l.

2015-08-18 23-42-50 Скриншот экрана

Поперечное сечение диагоналей прямоугольное с раз­мерами и h (b > h). Если раму нагрузить силой P√ 2 , как это показано на рис. 97, то одна диагональ будет растяги­ваться, а другая сжиматься силами P.

При каком значении силы P произойдет выпучивание стержней из плоскости рамы?

Предположим, что точка А вышла  из плоскости BCDEК балкам ВD и СЕ  в точке  A    приложим усилия  P1  (рис.303),  после чего будем рассма­тривать балки раздельно.

2015-08-18 23-54-26 Скриншот экрана

Дифференциальное урав­нение изгиба балки BD будет:

2015-08-18 23-53-38 Скриншот экрана

Для балки СЕ имеем:

2015-08-18 23-55-39 Скриншот экрана

Решение этих уравнений в порядке последовательности будет:

2015-08-18 23-57-01 Скриншот экрана,

где

2015-08-18 23-57-51 Скриншот экрана

В точке х = 0 прогиб у  в обоих случаях обращается в нуль. Поэтому

С2 = С4 = 0

Для симметричных форм потери устойчивости при х=l  угол наклона у' = 0, откуда

2015-08-19 00-03-38 Скриншот экрана

Наконец, из условия равенства прогибов балок в точке А получим:

2015-08-19 00-04-18 Скриншот экрана,

или согласно предыдущему

2015-08-19 00-05-10 Скриншот экрана,

откуда

2015-08-19 00-06-25 Скриншот экрана (1)

Кроме того, имеется вторая возможность потери устойчи­вости сжатого стержня СЕ. Этот стержень может изогнуться по двум полуволнам при неподвижной точке А. При этом стержень BD будет закручиваться. Рассмотрим оба стержня раздельно (рис. 304).

2015-08-19 00-07-28 Скриншот экрана

Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня СЕ будет:

2015-08-19 00-08-16 Скриншот экрана,

откуда

2015-08-19 00-09-06 Скриншот экрана

где φ — угол поворота среднего сечения стержня BDравный

2015-08-19 00-10-16 Скриншот экрана

где с — жесткость на кручение растянутого тонкого стержня; согласно ранее решенной задачи — см. здесь -  имеем:

2015-08-19 00-11-34 Скриншот экрана

Граничные условия (2) дают:

2015-08-19 00-14-26 Скриншот экрана

откуда, приравнивая нулю определитель системы, получаем:

2015-08-19 00-15-07 Скриншот экрана

Поскольку

2015-08-19 00-15-53 Скриншот экрана

то

2015-08-19 00-16-32 Скриншот экрана

Так как b много меньше l, а αl должно иметь величину порядка З÷4 единицы, то, очевидно, в правой части урав­нения можно пренебречь членами, содержащими b2; тогда получаем:

2015-08-19 00-27-24 Скриншот экрана

При μ = 0,3

2015-08-19 00-28-27 Скриншот экрана (3)

Это значение Ркр меньше вычисленного ранее (1). Потеря устойчирости стержня СЕ, следовательно, произойдет по двум полуволнам.

При дальнейшем росте силы Р усилие в сжатом стержне остается почти неизменным, и большая часть нагрузки будет восприниматься растянутой диагональю ВС.

Рассмотренная в задаче система является аналогом тонко­стенной панели BCDE (рис. 305), работающей в условиях сдвига.

2015-08-19 00-30-09 Скриншот экрана

Такого рода элементы типичны для авиационных и ракетных конструкций. При потере устойчивости происходит диагональное образование волн, но панель, потеряв способность нести дополнительную сжимающую нагрузку по диаго­нали СЕ, успешно воспринимает растягивающие силы, дей­ствующие в перпендикулярном направлении.