Задача

Определить критическую силу для кронштейна, показанного на рис. 96.

2015-08-17 20-49-21 Скриншот экрана

Стержни защемлены и жестко связаны друг с другом. Изгиб при потере устойчивости происходит в плоскости кронштейна.

Сначала решим вспомогательную задачу.

Возьмем шарнирно закрепленный стержень длиной l, на­груженный сжимающей силой N и моментами М0  и М1, (рис. 302, а).

2015-08-17 20-52-59 Скриншот экрана

Дифференциальное уравнение упругой линии стержня будет:

2015-08-17 20-53-48 Скриншот экрана,

 где R— реакция опор. Далее получим:

2015-08-17 20-54-32 Скриншот экрана (1)

где α2= N / E J.

Очевидно, при х = 0 и при х = l перемещение у = 0. Примем, кроме того, что при х = 0, у/= 0. Используя эти условия и учитывая, что

2015-08-17 20-57-43 Скриншот экрана,

исключим в выражении (1) величины А, В, М0 и RТогда получим:

2015-08-17 21-14-16 Скриншот экрана

Величина момента М1 остается неопределенной.

Угол поворота стержня на правой опоре равен

2015-08-17 21-16-53 Скриншот экрана (2)

Если сила N будет не сжимающей, а растягивающей, то величину α надо заменить на iα, cos αl — на ch αl, a sin αl  — на  i sh αl. Тогда выражение (2) примет вид

2015-08-17 21-21-26 Скриншот экрана (3)

Теперь обратимся к заданной стержневой системе (рис. 302, б). Нижний горизонтальный стержень сжат силой 2015-08-17 21-22-23 Скриншот экрана, а верхний растянут силой 2015-08-17 21-23-06 Скриншот экрана

В точке приложения силы Р перемещения для одного и другого стержня с точностью до величины высшего порядка малости равны нулю. Левые концы стержней защемлены. Следо­вательно, схема защемленно-опертого стержня (рис. 302, а) соответствует условиям закрепления и нагружения стержней, входящих в заданную раму. Остается только выполнить усло­вия сопряжения. Эти условия сводятся к равенству углов θ и равенству моментов в общей точке.

Обращаемся к выражениям (2) и (3). В первом из них заменяем αl  на α1l1,

а во втором на α2l2. Очевидно,

2015-08-17 21-26-23 Скриншот экрана (4)

Поскольку моменты в точке сопряжения направлены навстречу друг другу, то в одном из выражений (2) или (3) знак при М1 меняем на обратный. Приравнивая углы θ, получаем следую­щее трансцендентное уравнение:

2015-08-17 21-27-32 Скриншот экрана

К этому уравнению добавляется соотношение

2015-08-17 21-28-33 Скриншот экрана

2015-08-17 21-29-25 Скриншот экрана