Задача

Основным приближенным методом определения кри­тических нагрузок является энергетический метод. Искомая форма равновесия задается приближенно с таким расчетом, чтобы были удовлетворены граничные условия и принятая функция возможно более близко подхо­дила к истинной форме равновесия, нам неизвестной, но интуитивно предпола­гаемой по физической сущности задачи.

Спрашивается, не существует ли здесь опасности, что при неограничен­ном приближении аппроксимирующей функции к точной форме упругой ли­нии мы не получим точного значения критической силы.

При формальном подходе к выбору аппроксимирующей функ­ции можно получить результат весьма далекий от действительности.

2015-08-17 19-01-19 Скриншот экрана

Так, например, примем, что форма упругой линии для шарнирно закрепленного сжатого стержня (рис. 301) выра­жается функцией

2015-08-17 19-02-04 Скриншот экрана (1)

При т→  принятая функция неограниченно приближается к точному значению функции, выражающей форму упругой линии, т. е.

2015-08-17 19-04-29 Скриншот экрана

Критическая же сила Р, найденная на основе этой функции энергетическим методом, оказывается равной

2015-08-17 19-05-16 Скриншот экрана

и при т→ ∞, как видим, неограниченно удаляется от точ­ного значения.

Особенность функции (1) заключается в том, что она хорошо отражает вид первообразной функции у, но резко расходится с ней во второй производной, т. е. в выражении кривизны.

Пример поучителен тем, что при его помощи наглядно подчеркивается общее правило. При выборе аппроксимирую­щей функции необходимо следить также и за степенью приближения ее производных, включая высшую из входящих в выражение энергии.