Задача

В трубку вставлен с зазором длинный болт (рис. 94).

2015-08-17 16-05-11 Скриншот экрана

Определить силу затяжки болта P, при которой система потеряет устойчивость. Размеры трубки таковы, что ее следует рассматривать как длинный стержень, а не как обо­лочку. Жесткость трубки на изгиб E1 J1. Жесткость болта E2 J2.

Снимем мысленно гайку с болта и рассмотрим силы, действующие на болт и на трубку. На рис. 300 показаны оси болта и трубки после потери устойчивости и показаны внутренние силовые факторы Р, Q и М0.

2015-08-17 16-10-13 Скриншот экрана

Очевидно, для трубки

2015-08-17 16-11-16 Скриншот экрана

для болта

2015-08-17 16-12-00 Скриншот экрана

Дифференциальные уравнения упругих линий трубки и болта будут следующими:

2015-08-17 16-12-49 Скриншот экрана

Обозначим:

2015-08-17 16-13-30 Скриншот экрана

и тогда имеем:

2015-08-17 16-14-10 Скриншот экрана

Решая эти уравнения, получим:

2015-08-17 16-15-20 Скриншот экрана

Последние два слагаемых обоих выражений представляют собой частные решения уравнений. Постоянные величины A1, В1, A2, В2, и М0 определяются из следующих условий:

2015-08-17 16-18-09 Скриншот экрана

2015-08-17 16-20-17 Скриншот экрана (1)

Последние три условия дают:

2015-08-17 16-21-09 Скриншот экрана

Подставляем в эти уравнения B1,Ви А2 из (1). Тогда

2015-08-17 16-23-30 Скриншот экрана

Приравнивая нулю определитель системы, получаем

2015-08-17 16-25-29 Скриншот экрана

откуда

2015-08-17 16-27-14 Скриншот экрана (2)

где 2015-08-17 16-28-03 Скриншот экрана. При заданном отношении жесткостей можно выразить z2 через z1, а затем, решая трансцендентное уравнение (2), определить критическую силу затяжки Р.

В частности, при EJ1 = EJ= E J  имеем z1 = z2 = z, и тогда ch cos = 1, откуда

2015-08-17 16-32-29 Скриншот экрана