Задача

Стержень, шарнирно закрепленный по концам (рис. 95), равномерно нагревается.

2015-08-14 22-23-19 Скриншот экрана

Полагая, что опоры совершенно неподатливы, определяем нормальное сжимающее усилие, возникающее в стержне. Оно, очевидно, имеет величину 2015-08-14 22-24-24 Скриншот экранаПри силе 2015-08-14 22-25-05 Скриншот экрана прямолинейная форма равновесия стер­жня должна быть неустойчивой, и при дальней­шем нагреве стержень будет выпучиваться. Отсюда находим критическую температуру 2015-08-14 22-26-26 Скриншот экрана.

Однако по поводу сказанного возникает сле­дующее сомнение. Ведь когда рассматривается за­дача об устойчивости стойки, сжатой силами P, предполагается, что величина силы P остается при выпучивании неизменной и не зависит от искривления стойки. В данном же случае при малейшем искривлении стержня сила должна падать, и потому нет оснований формально переносить ре­шение основной задачи на данный случай. Поэтому возможно, что здесь критическая сила будет отличаться от принятого значения 2015-08-14 22-28-27 Скриншот экрана.

Как разрешить возникшее сомнение?

Можно утверждать, что форма упругой линии изо­гнутого стержни при заданной сжимающей силе будет одной и той же независимо от причин, какими вызвана эта сжимающая сила.

При заданном отклонении стержня от прямолинейного положения сила, сжимающая стержень, при любых обстоя­тельствах должна быть одной и той же. Неограниченно уменьшая кривизну стержня, мы неминуемо придем к выводу, что критическая сила для рассматриваемого стержня будет одной и той же как в обычном случае нагружения стержня мертвым грузом, так и в рассмотренном случае температурного воздействия.

Можно рассуждать и так. Изгибающий момент в стержне пропорционален первой степени прогиба у, а изменение сжи­мающей силы происходит на вертикальном перемещении, пропорциональном второй степени величины у'. Следова­тельно, величина у может быть всегда выбрана достаточно малой для того, чтобы можно было не считаться с изменением силы.