Задача

Найти критическое значение силы P для стержня, показанного на рис. 93.

2015-08-14 21-51-44 Скриншот экрана

Концы стержня закреплены шар­нирно и не получают ни горизонтальных, ни вертикальных смещений.

Рассмотрим стержень в изогнутом состоянии при отброшенной верхней опоре (рис. 299).

2015-08-14 21-57-14 Скриншот экрана

Вертикальную реак­цию этой опоры обозначим через Р1, а го­ризонтальную — через Q.

Первый вопрос, который здесь возни­кает,— это вопрос о величине этих реакций. Сила Q определяется из условия равенства нулю моментов относительно точки А, что дает 2015-08-14 21-58-33 Скриншот экрана

До начала выпучивания сила 2015-08-14 21-59-53 Скриншот экрана.

Поскольку отклонение от прямолинейной формы может быть принято сколь угодно ма­лым, при выпучивании силу Р1 можно также считать равной Р/2 (см. решение задачи). Теперь составляем дифференциальные уравнения изогнутой оси стержня по участкам:

2015-08-14 22-02-47 Скриншот экрана

или, иначе,

2015-08-14 22-03-31 Скриншот экрана,

где

2015-08-14 22-04-34 Скриншот экрана

Решая уравнения, получаем:

2015-08-14 22-05-14 Скриншот экрана

Следовательно,

2015-08-14 22-06-12 Скриншот экрана

Из уравнения 2) вытекает, что А = 0 (т. е. верхняя часть стержня не искривляется). Последние три уравнения прини­мают вид:

2015-08-14 22-07-16 Скриншот экрана

В том случае, когда определитель системы не равен нулю, все постоянные С, D, f равны нулю. Тогда y1 = y2 = 0 , И стержень остается прямолинейным. Решение может быть ненулевым, если определитель равен нулю. Это дает возмож­ность найти критическую силу Р

2015-08-14 22-11-27 Скриншот экрана

откуда

2015-08-14 22-12-14 Скриншот экрана

Если бы верхний конец стержня имел возможность сме­щаться по вертикали, критическая сила была бы в четыре с лишним раза меньшей, т. е. 2015-08-14 22-13-05 Скриншот экрана.