Задача

Тонкий упругий стержень установлен в вертикальных направляющих (рис. 91).

2015-08-12 20-23-06 Скриншот экрана

Нижним концом стержень защемлен в подвижной пробке, опирающейся на витую пружину жест­кости с  ( λ = Р / с ). По мере возрастания сжимающей силы Р длина l —λ свободно выступающей части стержня умень­шается, длина нижней части λ увеличивается. Какова должна быть жесткость пружины с, чтобы стержень, перемещаясь вниз до величины l , не потерял устойчивости ни в верхней, ни в нижней частях?

Длина верхней свободной части стержня равна

2015-08-12 20-28-42 Скриншот экрана

Существование формы равновесия с искривленной осью для этого участка возможно при 2015-08-12 20-29-29 Скриншот экрана,

а для нижнего участка, имеющего длину λ = Р / с , — при 2015-08-12 20-31-31 Скриншот экрана

Обозначим

2015-08-12 20-32-18 Скриншот экрана

Тогда выписанные выше условия существования криволиней­ных форм равновесия примут вид

2015-08-12 20-33-00 Скриншот экрана (1)

Так как λ ≤ l, то 0 ≤  p ≤ 1. На этом интервале изме­нения р строим

график функций р (1—р)2 и р3 (рис. 297).

2015-08-12 20-36-34 Скриншот экрана

Из этого графика и из соотно­шений (1) видно, что для того, чтобы стержень не терял устой­чивости, необходимо соблюде­ние следующих условий:

2015-08-12 20-37-44 Скриншот экрана,

откуда

2015-08-12 20-38-31 Скриншот экрана

но по предыдущему

2015-08-12 20-39-19 Скриншот экрана

следовательно, жесткость пружины с должна быть меньше следующей величины:

2015-08-12 20-40-17 Скриншот экрана