Задача

Прямой брус круглого поперечного сечения закру­чивается двумя моментами М. В брусе при этом возникают пластические деформации. Как определить зависимость между крутящим моментом М и углом закручивания θ, если задана диаграмма растяжения материала σ = (ε)?

Задача относится к числу простейших задач теории малых пластических деформаций. Для ее решения необходимо прежде всего перестроить диаграмму σ = (ε) в диаграмму τ= φ (γ).

Согласно теории пластичности между интенсивностью напряжений

2015-08-12 18-45-35 Скриншот экрана

и интенсивностью деформаций

2015-08-12 18-46-16 Скриншот экрана

для данного материала существует определенная функциональная зависимость
2015-08-12 18-47-49 Скриншот экрана (1),
неизменная при всех напряженных состояниях. В частности, и при растяжении, когда

2015-08-12 18-48-33 Скриншот экрана

Если принять 2015-08-12 18-49-59 Скриншот экрана. При кручении

2015-08-12 18-50-46 Скриншот экрана

Но согласно выражению (1)

2015-08-12 18-51-38 Скриншот экрана

Первое из этих уравнений является уравнением диаграммы растяжения материала. Перестройка диаграммы, следовательно, производится простой заменой σ на τ√3 и ε на γ/√3.

На рис. 296 показан пример подобной перестройки диаграммы.

2015-08-12 18-54-48 Скриншот экрана

Угол закручивания θ в зависимости от момента М определяется аналогично тому, как определялось изменение кривизны в задаче. Угол сдвига γ на расстоянии ρ от оси бруса будет:

2015-08-12 18-58-20 Скриншот экрана (2),

где d — диаметр сечения. Крутящий момент равен

2015-08-12 18-59-49 Скриншот экрана

но так как расстояние 2015-08-12 19-00-38 Скриншот экрана , то

2015-08-12 19-01-13 Скриншот экрана (3)

Стоящий в этом выражении интеграл есть момент инерции криволинейного треугольника ОАВ относительно оси ординат (рис. 296).

Таким образом, определение искомой зависимости производится следующим образом. Задаваясь значением γmax, определяем момент инерции треугольника ОАВ. Далее, по формулам (2) и (3) определяем θ и М. Проделывая эту операцию для нескольких значений γmax , можно построить искомую зависимость.