Задача

На сплошной цилиндр плотно, но без натяга надета тонкостенная трубка толщиной h (рис. 83).

2015-08-09 13-24-35 Скриншот экрана

Система погружается в жидкость и подвергается действию всестороннего давления р. Исходя из представлений теории прочности максимальных касательных напряжений, указать, при каких условиях возможна потеря упругих  свойств трубки, если упругие постоянные цилиндра и трубки заданы.

Обозначим через р1 контактное давление, действую­щее на поверхности соприкасания цилиндра с трубкой, и определим главные напряжения для обеих деталей.

2015-08-09 13-32-08 Скриншот экрана

Для трубки (рис. 287) из условий равновесия получаем

2015-08-09 13-32-49 Скриншот экрана

У внутренней поверхности два других главных напряже­ния будут — р и — р1, поэтому окружное относительное удли­нение трубки будет

2015-08-09 13-33-48 Скриншот экрана

где Етр и μтрмодуль упругости и коэффициент Пуассона материала трубки. Подставляя σ, получаем

2015-08-09 13-35-21 Скриншот экрана

Для цилиндра имеем

2015-08-09 13-38-55 Скриншот экрана

Но εтр =  εц ; из этого условия находим р1:

2015-08-09 13-40-27 Скриншот экрана

Из выражения для σ, исключая p1 получаем

2015-08-09 13-41-43 Скриншот экрана

Положим, что

2015-08-09 13-50-26 Скриншот экрана

Тогда легко показать, что р1 > р и что σ >—р. Следо­вательно,

2015-08-09 13-52-11 Скриншот экрана

откуда

2015-08-09 13-53-12 Скриншот экрана

Так как R/h много больше единицы, то

2015-08-09 13-54-23 Скриншот экрана,

и тогда условие возникновения в трубке пластических дефор­маций может быть написано в виде

2015-08-09 13-56-08 Скриншот экрана

Если 2015-08-09 13-56-57 Скриншот экрана, то будем иметь р1 < р.

В этом случае контакт между трубкой и цилиндром рас­кроется. и оба тела будут деформироваться независимо.

Чтобы оценить порядок величины давления р решим чис­ловой пример. Цилиндр стальной:

2015-08-09 13-59-00 Скриншот экрана

Для трубки из органического стекла задано:

2015-08-09 13-59-40 Скриншот экрана

Подсчет дает

2015-08-09 14-00-34 Скриншот экрана

Эта цифра является ориентировочной, поскольку в решении не учитывается изменение σт при изменении давления и недо­статочно точно задано значение μтр.