Задача

Для общего случая напряженного состояния (рис. 77) покажите:

2015-08-07 18-30-31 Скриншот экрана

1) Если для двух взаимно перпендикулярных площадок (например, для площадок, перпендикулярных к осям х и у) соблюдается условие:

2015-08-07 18-31-32 Скриншот экрана (1)

где — некоторая постоянная, то напряженное состояние не может быть трехосным (оно или двух- или одноосное).

2) Если, кроме условия (1), соблюдается еще и cледующее:

2015-08-07 18-34-21 Скриншот экрана (2)

то напряженное состояние—одноосное.

Нужно показать, что в первом случае по крайней мере одно, а во второмдва главных напряжения равны нулю.

Для этого уравнения (А) (из пред. задачи — см. здесь) переписываем в виде

2015-08-07 18-37-29 Скриншот экрана

где

2015-08-07 18-38-12 Скриншот экрана

инварианты напряженного состояния.

В первом случае по свойствам определителя

2015-08-07 18-39-14 Скриншот экрана,

и один из корней кубического уравнения обращается в нуль. Во втором случае 2015-08-07 18-39-56 Скриншот экрана, и, следовательно, два корня кубического уравнения обращаются в нуль.

Пользуясь доказанным, можно, например, сразу сказать, что напряженное состояние

2015-08-07 18-41-06 Скриншот экрана

является одноосным.