Задача

Касательные напряжения τ в поперечном сечении бруса при чистом кручении могут быть разложены на две составляющие τх и τу (рис. 34).

2015-07-20 17-36-55 Скриншот экрана

Крутящий момент в сечении определяется, очевидно, следующим выражением:

2015-07-20 17-37-44 Скриншот экрана

Показать, что независимо от формы сечения справедливы формулы

2015-07-20 17-38-29 Скриншот экрана

Решение. Рассмотрим условия равновесия элемента dx dy dz (рис. 210, а).

2015-07-20 17-39-47 Скриншот экрана

Равенство нулю суммы проекций всех сил на ось z дает

2015-07-20 17-46-30 Скриншот экрана (1)

На контуре (рис. 210, б) имеем граничное условие

2015-07-20 17-47-36 Скриншот экрана

или

2015-07-20 17-48-19 Скриншот экрана (2)

Теперь рассмотрим указанные в условии интегралы

2015-07-20 17-49-26 Скриншот экрана

Интегрируя по частям первое выражение по dxа второе — по dyполучаем:

2015-07-20 17-50-23 Скриншот экрана

что приводит к выражениям:

2015-07-20 17-51-04 Скриншот экрана

Согласно граничному условию (2) получаем

2015-07-20 17-51-49 Скриншот экрана

а согласно условию равновесия (1) имеем

2015-07-20 17-52-32 Скриншот экрана

Следовательно, приходим к равенству

2015-07-20 17-53-25 Скриншот экрана

Но так как

2015-07-20 17-54-08 Скриншот экрана

то окончательно получаем

2015-07-20 17-54-51 Скриншот экрана