Задача

При кручении узкой прямоугольной полосы в попе­речных сечениях образуются, как известно, вторичные нор­мальные напряжения. У краев полосы возникают растягивающие, а у середины — сжимающие напряжения (рис. 32).

2015-07-20 14-00-21 Скриншот экрана

От каких характеристик и как зависят эти напряжения в случае произвольной формы тонкостенного профиля?

 

На рис. 206 показан тонкостенный профиль, глав­ными центральными осями которого являются х, у.

2015-07-20 14-03-14 Скриншот экрана

Положим, что при кручении сечение поворачивается на угол φ относи­тельно некоторой точки С, имеющей координаты хс, ус. Образующая АВ (рис. 206) повернется при этом на угол 2015-07-20 14-04-43 Скриншот экрана.

В результате возникнет продольное удлинение

2015-07-20 14-05-44 Скриншот экрана

Одновременно с поворотом относительно продольной оси возможны взаимный поворот сечений относительно осей х и у и взаимное осевое смещение. Это приведет к тому, что в выражении ε появится дополнительная составляющая, линейно зависящая от х и у, т. е. будем иметь

2015-07-20 14-07-29 Скриншот экрана

и, соответственно, напряжение

2015-07-20 14-08-17 Скриншот экрана (1)

Депланация сечения на удлинение ε не влияет, поскольку рассматривается нестесненное кручение (по длине стержня θ не меняется).

Постоянные а, b и с должны быть подобраны таким обра­зом, чтобы нормальная сила в сечении и изгибающие моменты относительно осей х и у обращались бы в нуль:

2015-07-20 14-09-41 Скриншот экрана

откуда получаем:

2015-07-20 14-10-21 Скриншот экрана

где Jx,  Jy   и  Jpосевые и полярный моменты инерции сече­ния, а  Нх и Ну — новые геометрические характеристики:

2015-07-20 14-12-53 Скриншот экрана

Выражение (1) принимает вид

 2015-07-20 14-13-43 Скриншот экрана (2)

Напряжения σ дают в сечении дополнительный крутящий момент

2015-07-20 14-17-42 Скриншот экрана

где под величиной К понимается новая геометрическая харак­теристика

2015-07-20 14-18-30 Скриншот экрана (3)

Крутящий момент в сечении состоит из «обычного» момента, образованного касательными напряжениями, и дополнительного

2015-07-20 14-27-47 Скриншот экрана (4),

 где s—длина дуги контура сечения.

Производя в выражениях (2) и (3) замену r2 на r2 = ( х — хс )2  + ( у ус )2 замечаем, что координаты хс  и  ус в вы­ражениях для σ  и К исключаются. Это означает, что выбор полюса С может быть сделан произвольно, и здесь следует руководствоваться исключительно соображениями удобства.

Рассмотрим частные случаи:

а) Полоса прямоугольного сечения со сторонами и δ (рис. 207, а).

2015-07-20 14-33-48 Скриншот экрана

В этом случае имеем:

2015-07-20 16-02-19 Скриншот экрана

Тогда

2015-07-20 16-03-24 Скриншот экрана
Последнее слагаемое в выражении  Мк дает количественную оценку нелинейного эффекта.

б) Круговой незамкнутый профиль (рис. 207, б)

2015-07-20 16-04-26 Скриншот экрана,  следовательно, σ = 0,

2015-07-20 16-05-37 Скриншот экрана

Нелинейный эффект в данном случае отсутствует.