Задача

В поперечном сечении закрученного бруса (рис. 31) проводится произвольная замкнутая кривая.

2015-07-17 19-23-04 Скриншот экрана

Касательные на­пряжения в каждой точке кривой разложены на нормальную (τn) и касательную (τs) составляющие к проведенному контуру. Нормальные напряжения в сечении отсутствуют (кручение нестесненное).

Доказать, что независимо от формы бруса и формы начерченной в сечении кривой справедливы формулы:

2015-07-17 19-24-47 Скриншот экранагде ds— элемент дуги контура, G— модуль сдвига, Fs— пло­щадь, ограниченная кривой, θ — угол закручивания на единицу длины бруса. (Интегрирование распространяется на весь кон­тур замкнутой кривой.)

1) Цилиндрической поверхностью, проходящей по заданному контуру, выделим внутреннюю часть бруса (рис. 203).

2015-07-17 19-26-32 Скриншот экрана

На проведенной цилиндрической поверхности возникают каса­тельные напряжения, парные τn. Проектируя на ось z все силы, действующие на выделенную часть бру­са, получим

2015-07-17 19-28-47 Скриншот экранаили, иначе,2015-07-17 19-29-32 Скриншот экрана

2) Рассмотрим элемент dsdz  цилиндрической поверхности, проведенной через начерченный контур (рис. 204).

2015-07-17 19-30-40 Скриншот экрана

После на­гружения бруса этот элемент исказится и примет вид парал­лелограмма, изображенного на рис. 204. Угол сдвига γ будет определяться суммой углов α и β, т. е.

2015-07-17 19-32-38 Скриншот экрана

Теперь найдем выражение для каждого из этих слагаемых. Угол α определяется углом закручивания θ и расстоянием от центра кручения; в самом деле, из рис. 204 имеем

2015-07-17 19-33-35 Скриншот экрана

по А А' = n dφ , где dφ— относительный угол поворота сече­ний, находящихся на расстоянии dz друг от друга, п — рас­стояние от центра кручения О (рис. 205) до касательной к контуру в точке A.

2015-07-17 19-39-01 Скриншот экрана

Поскольку dφ/dz = θ, то α = θn. Сечение бруса при кручении не остается плоским и получает некоторое перемещение (xу) в направлении оси z. Очевидно (рис. 204),

2015-07-17 19-42-08 Скриншот экрана

Так как 2015-07-17 19-43-13 Скриншот экрана, то 2015-07-17 19-43-51 Скриншот экрана,

откуда получаем

2015-07-17 19-44-34 Скриншот экрана

Интеграл от dw по замкнутому контуру равен нулю. Поэтому

2015-07-17 19-45-19 Скриншот экрана

Но nds — удвоенная площадь треугольника ОАВ (рис. 205); следовательно,

2015-07-17 19-46-19 Скриншот экрана