Задача

Имеется абсолютно жесткий стержень и тонкая упру­гая трубка, внутренний диаметр которой на величину 2Δ меньше диаметра стержня. Трубка нагрета и посажена на стержень (рис. 24).

2015-07-15 16-37-46 Скриншот экрана

При остывании в трубке возникают окружные на­пряжения, а при наличии трения — также и осевые.

Определить величину и ха­рактер распределения возникаю­щих в трубке напряжений.

Деформация трубки в окружном направлении задана:

2015-07-15 16-44-01 Скриншот экрана

Обозначим контактное давление через p , осевую силу, возникающую в трубке, через N.  Тогда

2015-07-15 16-45-22 Скриншот экрана

где h — толщина трубки. Таким образом,

2015-07-15 16-50-10 Скриншот экрана(1)

Но осевая сила в сечении х определяется интегралом от сил трения на интервале (0 — x),т. е.

2015-07-15 16-51-56 Скриншот экрана (2)

где f — коэффициент трения. Теперь выражение (1) примет вид

2015-07-15 16-52-55 Скриншот экрана

Продифференцировав это выражение по х, получим:

2015-07-15 16-53-41 Скриншот экрана

откуда

2015-07-15 16-54-21 Скриншот экрана

Постоянная р0 представляет собой контактное давление у конца трубки. Его находим из выражения (1), положив N0; имеем:

2015-07-15 16-55-25 Скриншот экрана

Следовательно,

2015-07-15 16-56-38 Скриншот экрана

Из выражения (2) находим осевую силу:

2015-07-15 16-57-21 Скриншот экрана

Таким образом, контактное давление и осевая сила по мере удаления от конца трубки возрастают. Это возрастание прекратится, очевидно, там, где осевое удлинение от сил и р станет равным начальному осевому удлинению трубки. Но для нагретой трубки, равномерно расширяющейся во все стороны, осевое удлинение в момент посадки равнялось окружному, т. е. Δ/R. Выразим осевое удлинение через р и N:

2015-07-15 16-59-30 Скриншот экрана

Обозначим через а то расстояние от конца трубки, на кото­ром еще имеет место проскальзывание и существуют силы трения. Из последнего выражения, полагая 2015-07-15 17-02-19 Скриншот экрана, находим

2015-07-15 17-03-04 Скриншот экрана

При x > a  2015-07-15 17-04-01 Скриншот экрана, и мы имеем:

2015-07-15 17-05-07 Скриншот экрана

У второго конца трубки распределение сил будет анало­гичным.

На рис. 194 показаны законы изменения нормальной силы Nсил трения dN/dx и контактного давления р вдоль оси трубки. Рядом для сравнения показаны те же графики для случая более короткой трубки (l < 2а).

2015-07-15 17-07-12 Скриншот экрана