Задача

Стальное кольцо посажено с заданным натягом на алюминиевое (рис. 22).

2015-07-05 17-18-12 Скриншот экрана

Опыт показывает, что в некоторых случаях после нагрева системы на определенную температуру и последующего охлаждения внутреннее кольцо выпадает из внешнего.

Установите, при каких условиях возможно это явление. Какие данные необходимы для того, чтобы получить число­вую оценку указанного явления?

Указанное явление может иметь место в том случае, если при нагреве в алюминиевом кольце возникнут достаточно большие пластические деформации. Обозначим через Δ раз­ность между внешним радиусом внутреннего кольца и внутренним радиусом внешнего кольца до посадки. Очевидно,

2015-07-05 17-45-05 Скриншот экрана (1)

где εA — относительное укороче­ние дуги алюминиевого кольца,

εС — относительное удлинение дуги стального кольца.

В пределах упругих деформаций при наличии дополни­тельного нагрева

2015-07-05 17-48-22 Скриншот экрана

где σА и σСнапряжения в алюминиевом и стальном коль­цах, αА и αС — соответствующие коэффициенты линейного расширения. С другой стороны, при одинаковой толщине колец, как это следует из условий равновесия (рис. 190), σС = σА = σ

2015-07-05 17-51-35 Скриншот экрана

Уравнение (1) дает

2015-07-05 17-52-56 Скриншот экрана (2)

Положим, что диаграмма растяжения или сжатия алюминия может быть схематизирована так, как это показано на рис. 191.

2015-07-05 17-54-44 Скриншот экрана

Предел текучести алюминия ниже предела теку­чести стали. Так как напряжения в обоих кольцах одинаковы, то стальное кольцо во всех случаях будет рабо­тать упруго.

Напряжение начального натяга колец, которое обозначим через σ0, равно

2015-07-05 17-57-42 Скриншот экрана

Тогда выражение (2) примет вид

2015-07-05 17-58-34 Скриншот экрана(3)

Заметим, что σ не может быть больше, чем σТА. Если тем­пература нагрева

2015-07-05 18-00-29 Скриншот экрана,

то в алюминиевом кольце появляются пластические деформа­ции и σ = σтА.

При охлаждении кольца будут деформироваться упруго. Тогда остаточные напряжения можно найти как алгебраиче­скую сумму σтА и «напряжения охлаждения», полученного из выражения (3) заменой знака при на обратный, т. е.

2015-07-05 18-03-10 Скриншот экрана(4)

При σост < 0 алюминиевое кольцо выпадает из стального. Следовательно, условием выпадания будет:

2015-07-05 18-04-06 Скриншот экрана(5)

Возможен случай, когда пластические деформации в алю­миниевом кольце возникнут уже при посадке до нагрева. Выражение (4), а за ним и (5) сохраняют при этом свою силу, независимо от того, путем каких воздействий был до­стигнут предел текучести σтА.