Задача

Винт и гайка (рис. 15) растягиваются силами Р.

2015-07-03 19-28-01 Скриншот экрана

Вы­явить закон распределения нормальных усилий по длине винта и гайки (в функции х), если известно, что усилие, приходя­щееся на каждый виток резьбы, пропорционально взаимному смещению винта и гайки = (uиГ) ; t— усилие, прихо­дящееся на единицу длины нарезанной поверхности; k— экспе­риментально найденный коэффициент; иВиГ — взаимное смещение вдоль оси винта и гайки, вызванное деформацией резьбы (см. рис. 15).          

Рассмотрим условия равновесия элемента винта (рис. 184)

2015-07-03 19-30-10 Скриншот экрана

Очевидно, 2015-07-03 19-31-03 Скриншот экрана (1)

Далее, согласно условию 2015-07-03 19-32-14 Скриншот экрана (2)

но

2015-07-03 21-26-45 Скриншот экрана

а

2015-07-03 21-27-34 Скриншот экрана

Следовательно, в результате дифференцирования выражения (2) получим

2015-07-03 21-28-44 Скриншот экрана

Подставим сюда t из уравнения равновесия (1)

2015-07-03 21-29-53 Скриншот экрана

но очевидно условие

2015-07-03 21-30-39 Скриншот экрана

поэтому получаем

2015-07-03 21-31-32 Скриншот экрана (3)

где

2015-07-03 21-32-05 Скриншот экрана

Решением однородного уравнения

2015-07-03 21-32-49 Скриншот экрана

будет:

2015-07-03 21-33-26 Скриншот экрана

Присоединив сюда частное решение уравнения (3), получим

2015-07-03 21-34-39 Скриншот экрана (4)

Постоянные А и В найдем из граничных условий:

2015-07-03 21-36-02 Скриншот экрана

После решения получим

2015-07-03 21-36-43 Скриншот экрана

Нормальное усилие в винте равно

2015-07-03 21-37-31 Скриншот экрана

Нормальное усилие в гайке:

2015-07-03 21-38-29 Скриншот экрана

Усилие на витки резьбы равно

2015-07-03 21-39-17 Скриншот экрана

На рис. 185 показан характер изменения этих величин по оси винта и гайки.

2015-07-03 21-40-35 Скриншот экрана