Задача

Гибкая нить, лежащая на горизонтальной плоскости, натянута силой Т0 между двумя неподвижными опорами (рис. 11).

2015-06-29 11-24-06 Скриншот экрана

После того как межопорная поддерживающая плоскость будет убрана, нить провиснет.

Выясните, как зависит величина провисания wmах  от силы начального натяжения Т0  и погонного веса нити qсчитая жесткость нити на растяжение EF  и ее длину l заданными.

 

Рассмотрим элемент нити длиной dx (рис. 179).

2015-06-29 11-30-01 Скриншот экрана

 

Обозначим через Т силу натяжения провисшей нити (Т > Т0), а через  ν угол наклона провисшей нити. Полагая этот угол малым, получим из условия равновесия:

2015-06-29 11-33-01 Скриншот экрана, откуда

2015-06-29 11-33-50 Скриншот экрана

После интегрирования находим 2015-06-29 11-34-36 Скриншот экрана

при х = l / 2 имеем ν = 0, поэтому С = l / 2, следовательно, 2015-06-29 11-42-10 Скриншот экрана

Теперь найдем Т. Вследствие неравенства усилий Т и Т0  нить удлиняется на величину разности длин между кривой и прямой нитью, т.е.

2015-06-29 11-40-07 Скриншот экрана, откуда

2015-06-29 11-40-50 Скриншот экрана

 

Подставим сюда Т  из выражения (2). Тогда получим

2015-06-29 11-46-41 Скриншот экрана

Это и есть искомая  зависимость wmax  от  Т0  и  q . Полученный результат представлен на рис. 180 в виде кривых 2015-06-29 11-47-40 Скриншот экрана

2015-06-29 11-48-26 Скриншот экрана