Задача

Прямой однородный стержень (рис. 10, а) опирается на жесткое основание.

2015-06-27 22-31-07 Скриншот экрана

Найдем перемещение центра тяжести стержня под действием собственного веса. Это можно сделать двумя способами.

Первый способ. Находим обычным приемом перемещение точки (центра тяжести), расположенной на расстоянии l /2 от основания (см. эпюру перемещений, рис. 10, б).

Это перемещение, как легко проверить, будет равно 2015-06-27 22-34-25 Скриншот экрана (1),

где q — вес стержня на  единицу длины (погонный  вес), EF—жесткость на сжатие.

Второй способ. Находим расстояние от основания до центра тяжести деформированного стержня (рис. 10, в). Это расстояние будет следующим:

2015-06-27 22-36-25 Скриншот экрана (2). Здесь dm — масса элемента длины dx;

2015-06-27 22-37-53 Скриншот экрана,

u — текущее перемещение, определяемое по эпюре (рис. 10,6) формулой 2015-06-27 22-38-50 Скриншот экрана
Подставляя u, m и dm в выражение (2) и интегрируя, находим:

2015-06-27 22-41-09 Скриншот экрана.

Искомое перемещение, следовательно, будет:

2015-06-27 22-42-13 Скриншот экрана (3),

что не сходится с полученным ранее выражением (1).

В чем причина расхождения?

В первом случае определено перемещение той точки, в которой находился центр тяжести стержня до деформации. Во втором случае определено расстояние от точки нового положения центра тяжести до точки старого положения, а это не одно и то же.

В самой постановке вопроса, таким образом, имеется неопределенность. Нужно четко оговорить, что следует понимать под термином «перемещение центра тяжести», поскольку центр тяжести не связан жестко ни с одной из точек деформированного тела.