Задача

Биметаллическое кольцо, имеющее размеры, пока­занные на рис. 70, нагревается на температуру t.

2015-08-04 22-38-20 Скриншот экрана

Определить величину угла φ, на который повернется сечение кольца, полагая форму этого сечения неизменной. Коэффициенты температурного удлинения составляющих частей кольца α1  и α2.

По условию сечение кольца можно считать недеформирующимся. Перемещение всякой фигуры в плоскости, как известно, может быть пред­ставлено в виде двух линейных перемещений какой-либо точки фигуры и дальнейшего поворота всей фигуры как целого вокруг этой точки.

Возьмем какую-либо точку в сечении кольца, например, точку О (рис. 270), расположенную на внутреннем радиусе а на спае колец.

2015-08-04 22-44-43 Скриншот экрана

Теперь полное перемещение сечения кольца может быть представлено в виде последовательных переме­щений точки О вдоль оси симметрии, перпендикулярно к ней, и поворота на угол φ около точки О.

Что касается первого перемещения, то оно соответствует перемещению кольца как жесткого целого и не вызывает его деформаций. Поэтому рассматривать это перемещение не бу­дем. Вторую составляющую линейного перемещения обозначим через Δ. Радиальное перемещение точки А будет, таким обра­зом, складываться из перемещения Δ и перемещения вследствие поворота сечения вокруг точки О. Эта вторая составляющая Δφ будет, как видно из рис. 271, равна 2015-08-04 22-54-50 Скриншот экрана

2015-08-04 22-53-46 Скриншот экрана

Радиальное перемещение точки А будет

2015-08-04 22-55-33 Скриншот экрана,

а окружное относительное удлинение

2015-08-04 22-56-17 Скриншот экрана

Окружное напряжение для первого кольца равно

2015-08-04 22-56-58 Скриншот экрана

для второго кольца

2015-08-04 22-57-36 Скриншот экрана

Если разрезать кольцо осевой диаметральной плоскостью и рассмотреть равновесие половины кольца, то легко убе­диться в том, что в сечениях этого кольца (рис, 272)

2015-08-04 22-58-28 Скриншот экрана

изгибающий момент М и нормальная сила N равны нулю. Сле­довательно,

2015-08-04 23-00-03 Скриншот экрана

Подставляя сюда σ1 и σ2, находим:

2015-08-04 23-11-57 Скриншот экрана

Отсюда, исключая Δ, находим

2015-08-04 23-13-01 Скриншот экрана

Как и в рассмотренном ранее случае,  φ будет наибольшим, если 2015-08-04 23-14-57 Скриншот экрана

Тогда искомый угол равен

2015-08-04 23-15-40 Скриншот экрана