Задача

В различных температурных ре­гуляторах весьма часто применяются так называемые биметаллические элементы.

Биметаллический элемент представляет собой две жестко со­единенные металлические пластинки с различными коэффи­циентами температурного расширения α1 и α2 (рис. 69).

2015-08-03 19-54-28 Скриншот экрана

При нагреве биметаллическая пластинка изгибается за счет раз­личного удлинения ее составляющих. Если один конец пла­стинки неподвижно закрепить, то второй — свободный — ко­нец переместится на некоторую величину. Получаемые таким образом перемещения используются как источник движения и необходимых механических усилий.

Установить, как меняется кривизна пластинки в зависи­мости от ее геометрических размеров и температуры на­грева.

Выделим из биметаллической полоски элементарный участок, имеющий длину ds и начальную кривизну поверх­ности спая 2015-08-03 19-57-21 Скриншот экрана (биметаллические элементы часто делаются криволинейными) (рис. 269).

2015-08-03 19-58-04 Скриншот экрана

Относительное удлинение волокна, отстоящего на рас­стояние у от поверхности спая, будет складываться из двух величин: из удлинения в спае ε0 и удлинения, обусловленного изги­бом полоски2015-08-03 19-59-19 Скриншот экрана, где 2015-08-03 20-00-04 Скриншот экрана - новая кривизна. Таким образом,

2015-08-03 20-00-43 Скриншот экрана.

Вычитая отсюда температурное удлинение и умножая по­лученную разность на модуль упругости Е, находим напря­жение, действующее в волокне, расположенном на расстоянии у от поверхности спая. Для первой пластинки имеем:

2015-08-03 20-01-36 Скриншот экрана

для второй

2015-08-03 20-02-16 Скриншот экрана

Е1 и Е2— модули упругости первой и второй пластинок.

Нормальное усилие и изгибающий момент в сечении би­металлического элемента равны нулю. Поэтому

2015-08-03 20-03-45 Скриншот экрана

Подставляя сюда σ1 и σ2 и интегрируя, получим:

2015-08-03 20-04-55 Скриншот экрана

Исключим отсюда ε0 и найдем изменение кривизны

2015-08-03 20-05-51 Скриншот экрана

Изменение кривизны пропорционально изменению темпе­ратуры и разности коэффициентов температурного расшире­ния. Наибольшее изменение кривизны, как это видно из по­лученного выражения, будет иметь место тогда, когда тол­щины составляющих пластинок подобраны так, чтобы

2015-08-03 20-06-41 Скриншот экрана

Тогда

2015-08-03 20-07-21 Скриншот экрана