Задача

Определите усилия, действующие в спицах велоси­педного колеса, и напряжения, возникающие в ободе при приложении к оси колеса силы Р (рис. 68).

2015-08-03 15-48-35 Скриншот экрана

Грунт, на который опирается колесо, можно считать жестким. Число спиц п велико настолько, что позволяет рассматривать спицы не как отдельные стержни, а как непрерывную среду.

Провести числовой расчет при сле­дующих данных: Р = 40 кг; радиус ко­леса = 31 см; момент инерции сечения обода = 0,3 см4 , число спиц п = 36; диаметр спиц d = 2 мм. Материал обода и спиц—сталь, Е = 2 ·106 кг/см2.

Если спицы рассматривать как непрерывную упругую среду, то для любой точки обода сила, действующая со сто­роны спиц, будет пропорциональна радиальному смещению соответствующей точки обода wТаким образом, мы сталки­ваемся здесь с задачей о расчете кольца с упругим основанием.

На единицу длины обода приходится 2015-08-03 15-56-14 Скриншот экрана  спиц. Со стороны каждой спицы на обод действует сила  2015-08-03 15-57-54 Скриншот экрана,где lдлина спицы (l ≈ R), Fплощадь поперечного сечения спицы.

На единицу длины обода, таким образом, действует сила 2015-08-03 15-59-42 Скриншот экранаоткуда

2015-08-03 16-00-38 Скриншот экрана (1)

Теперь составим дифференциальное уравнение упругой линии кольца. За независимую переменную выберем угол φ, отсчитываемый от вершины кольца (рис. 266).

2015-08-03 16-01-34 Скриншот экрана

Из кольца выделим элементарный участок длины dφ и в произведенных сечениях приложим внутренние силы N, Q и М. Со стороны спиц на этот участок будет действовать сила kwRdφСоставим уравнения равновесия для этого элементарного участка. Проектируем все силы на радиальную ось. Тогда получим

2015-08-03 16-03-23 Скриншот экрана

Условие равенства нулю суммы проекций всех сил на ось, касательную к дуге круга, дает

2015-08-03 16-04-07 Скриншот экрана

Приравниваем нулю сумму моментов сил относительно точки О

2015-08-03 16-04-46 Скриншот экрана

и исключаем из этих уравнений Q и N.Тогда имеем

2015-08-03 16-05-21 Скриншот экрана.

Изменение кривизны 2015-08-03 16-06-24 Скриншот экрана связано с изгибающим момен­том М следующим соотношением:

2015-08-03 16-07-04 Скриншот экрана

 но, как известно,

2015-08-03 16-07-43 Скриншот экрана

Так как при положительном перемещении wнаправленном от центра круга, кривизна кольца уменьшается, в правой части этого выражения стоит знак минус. Изменение кривизны в этом выражении состоит из двух величин. Первое слагаемое  2015-08-03 16-09-03 Скриншот экранасоответствует изменению кривизны за счет простого расширения кольца. Второе слагаемое 2015-08-03 16-09-47 Скриншот экрана, равное 2015-08-03 16-10-29 Скриншот экрана, представляет собой обычное изменение кривизны, ко­торое мы имеем и в прямом брусе.

Теперь после подстановки М дифференциальное уравнение принимает следующий окончательный вид:

2015-08-03 16-11-39 Скриншот экрана

где

2015-08-03 16-12-16 Скриншот экрана (2)

Решением этого уравнения будет

2015-08-03 16-13-00 Скриншот экрана

где

2015-08-03 16-13-58 Скриншот экрана  (3)  

Так как кольцо деформируется симметрично относительно вертикальной оси, функция должна быть четной функцией, т. е. при перемене знака при φ с плюса на минус должна оставаться неизменной. Поэтому произвольные постоянные С3 и С4, стоящие при нечетных функциях, полагаем равными нулю. Остальные постоянные определяются из следующих условий:

2015-08-03 16-16-19 Скриншот экрана

Последнее условие означает, что при нагружении колеса верхняя и нижняя точки остаются на одной вертикали. Дей­ствительно, если рассмотреть элемент обода колеса до и после деформации (рис. 267),

2015-08-03 16-17-18 Скриншот экрана

то нетрудно установить, что условие его нерастяжимости на­пишется в виде

2015-08-03 16-18-05 Скриншот экрана

где — перемещение по касательной к дуге контура, или

2015-08-03 16-20-11 Скриншот экрана

Так как смещение по касательной в точках φ = 0 и φ  = π отсутствует, то отсюда и вытекает условие в).

При С= С= 0 выражения для изгибающего момента

2015-08-03 16-21-56 Скриншот экрана

и поперечной силы

2015-08-03 16-22-31 Скриншот экрана

принимают вид

2015-08-03 16-23-19 Скриншот экрана

Теперь, раскрывая граничные условия а), б) и в), получаем:

2015-08-03 16-37-22 Скриншот экрана

Решаем эти уравнения:

2015-08-03 16-38-14 Скриншот экрана

Окончательно выражения для w и М принимают вид:

2015-08-03 16-39-46 Скриншот экрана

где для сокращения обозначено:

2015-08-03 16-41-08 Скриншот экрана

Усилие, приходящееся на одну спицу, будет, очевидно, равно

2015-08-03 16-42-31 Скриншот экрана  (7)

Проведем числовой подсчет. Из выражений (1) и (2), полагая модули упругости спиц и обода равными, получаем:

2015-08-03 16-43-21 Скриншот экрана

Далее, согласно (3) вычисляем:

2015-08-03 16-44-04 Скриншот экрана

Теперь находим:

2015-08-03 16-44-45 Скриншот экрана

Согласно (6) имеем:

2015-08-03 16-45-24 Скриншот экрана

Выражения (5) и (7) могут быть переписаны в виде

2015-08-03 16-46-40 Скриншот экрана

Отсюда видно, что при небольших значениях φ второе и третье слагаемые в скобках будут весьма малы, и М и Рc   практически не меняются. На основании этих выражений строим эпюры изгибающего момента М и усилий в спицах Рc (рис. 268).

2015-08-03 17-07-47 Скриншот экрана

При силе Р = 40 кг получаем: Mmax= 88 кг см; наиболь­шее усилие на спицу Рс max = 11.2 кг. Понятно, что в полученном результате не учитывается предварительное натяже­ние спиц, которое задается им при сборке. Естественно, это предварительное натяжение должно превышать по абсолютной величине Рс mах.

Рассмотренная задача впервые решена Н. Е. Жуковским.