Задача

Прямой деревянный брус прямоугольного попереч­ного сечения плавает на поверхности воды (рис. 67).

2015-08-02 14-03-25 Скриншот экрана

Определите напряжения, возникающие в брусе, и пере­мещение точки приложения силы Р, если

Р = 50 кг, l— 10 м,

b=20 см, h—10 см.

Дерево — сосна с удельным весом 0,6 г/см3 и модулем упру­гости Е ≈ 105 кг/см2.

Обозначим через у вертикальное перемещение бруса при нагружении силой Р. Дифференциальное уравнение упру­гой линии балки

2015-08-02 14-07-27 Скриншот экрана

перепишем в виде

2015-08-02 14-08-09 Скриншот экрана

где кг/сминтенсивность нагрузкисила, приходящаяся на единицу длины бруса. В рассматриваемом случае эта сила равна, очевидно, весу воды, вытесняемой единицей длины бруса на перемещении у, т. е.

2015-08-02 14-09-24 Скриншот экрана,

где γ — удельный вес воды. Так как интенсивность напра­влена в сторону, противоположную перемещению у, перед   γ поставлен знак минус. Теперь имеем

2015-08-02 14-12-05 Скриншот экрана

Обозначим

2015-08-02 14-12-46 Скриншот экрана (1)

где k— постоянная величина. Уравнение принимает вид

2015-08-02 14-13-50 Скриншот экрана (2)

Это уравнение называется уравнением балки на упругом осно­вании. Типичным примером такой балки является плавающая балка прямоугольного сечения. Для нее реакция основания (воды) в каждой точке пропорциональна перемещению у.

Уравнение (2) удовлетворяется функциями sh kx sin kxch kx cos kxsh kx cos kxch kx sin kx  и  любыми их линей­ными комбинациями. При использовании этих функций удобнее всего взять комбинации, предложенные А. Н. Крыловым, которые называются функциями Крылова. Они удобны тем, что производная от каждой из этих функций дает какую-либо другую из этих же функций. Приведем таблицу функций Крылова.

2015-08-02 14-50-53 Скриншот экрана


Выражение для у можно написать в следующем виде:

2015-08-02 14-52-19 Скриншот экрана

где у0, у0, M0  и Q0—соответственно перемещение, угол поворота, изгибающий момент и поперечная сила при х = 0. Если принять за начало отсчета х левый конец бруса (рис. 67), то, очевидно,

2015-08-02 14-55-29 Скриншот экрана

Величины у0 и y’0  определим из следующих условий:

2015-08-02 14-57-59 Скриншот экрана

Согласно таблице имеем:

2015-08-02 14-58-40 Скриншот экрана

и тогда граничные условия запишутся в виде

2015-08-02 14-59-26 Скриншот экрана

откуда находим перемещение и угол поворота при х = 0:

2015-08-02 15-00-15 Скриншот экрана

Теперь у и у" принимают вид

2015-08-02 15-01-05 Скриншот экрана

Проделаем числовые подсчеты:

2015-08-02 15-02-09 Скриншот экрана

Далее, пользуясь таблицами тригонометрических и гипербо­лических функций согласно выражениям для Yn(kx), находим:

2015-08-02 15-03-42 Скриншот экрана

после чего получаем:

2015-08-02 15-04-25 Скриншот экрана

Полученное решение будет верно только в том случае, если на всей длине балка верхней своей плоскостью будет выступать над поверхностью воды. Только в этом случае можно считать реакцию воды пропорциональной вертикаль­ному смещению. Таким образом, применимость полученного решения определяется максимальным перемещением уmaх.

При отсутствии нагрузки балка будет погружена в воду на величину, равную 0,6h (поскольку ее удельный вес соста­вляет 0,6 удельного веса воды). Верхняя плоскость балки возвышается над уровнем воды на 0.4 = 4 см. Следовательно, условием применимости полученного решения будет |уmах|≤ 4 см.

По формуле (3) находим: |уmаx| = 3,28 см < 4 см.

На рис. 265 представлен вид упругой линии изогнутой балки и эпюра моментов, построенная на основании выраже­ния (4).

2015-08-02 15-13-47 Скриншот экрана

Наибольший изгибающий момент, возникающий в среднем сечении, равен 5420 кг см, а напряжение 2015-08-02 15-14-49 Скриншот экрана.