Задача

Показать, что площадь, ограниченная контуром пло­ской кольцевой нерастяжимой рамы, при ее изгибе плоской системой сил при малых перемещениях остается неизменной, т. е. равной πR2 (рис. 66).

2015-08-01 21-08-23 Скриншот экрана

Заметим предварительно, что площадь ΔFометаемая любой балкой при ее изгибе, определяется следующим интегралом:

2015-08-01 21-49-12 Скриншот экрана,

где М — изгибающий момент от внеш­них сил, M1q— изгибающий момент от распределенной нагрузки интен­сивности «единица» (q= 1 кг/см)

Это выражение наиболее про­сто выводится тем же способом, что и обычные выражения для линейных и угловых переме­щений.

Для того чтобы определить изменение площади, ограни­ченной замкнутой рамой, надо предварительно найти выраже­ние M1qприложив к раме единичную распределенную нагрузку = 1 (рис. 264).

2015-08-01 21-51-39 Скриншот экрана

Но для кольцевой замкнутой рамы M1q = 0, следовательно, ΔF = 0. Тем самым доказано сделанное предположение.

Совершенно ясно, что оно справедливо, с одной стороны, только в той мере, в какой допустимо пренебречь растяже­нием контура кольца, а с другой, — при условии, что система работает в области малых перемещений. Для весьма гибкого кольца при сильном изменении его формы площадь, ограни­ченная контуром, не остается неизменной.