Задача

Геометрически неизменяемая система, состоящая из шарнирно соеди­ненных стержней, носит название фермы. Стержни фермы работают на растяжение или на сжатие.

В реальных конструкциях стержни фермы скрепляются не шарнирно, а жестко — при помощи сварки или клепки. Допустимо ли в этом случае рассчитывать ферму в предположении, что стержни по-прежнему работают только на растяжение — сжатие, и пренебрегать при расчете изгибом стержней? Ведь при жестком соединении стержней ферма фактически перестает быть фермой и превращается в раму !

Рассчитывать ферму с жесткими углами в предполо­жении, что стержни работают только на растяжение и сжатие, можно, если силы приложены в узлах. Действительно, рассмотрим некоторую раму, составленную из ряда замк­нутых контуров (рис. 257), таких, чтобы при шарнир­ном соединении стержней система оставалась геометри­чески неизменяемой.

2015-08-01 16-47-32 Скриншот экрана

Положим, что рама нагружена силами, приложенными только в узлах (сила Р и реакции опор). При помощи метода сил раскроем статическую неопределимость рамы, врезая в ее узлах шарниры и вводя в качестве упругих связей узловые моменты Х1 , Х2 ,Х, ... (рис. 258).

2015-08-01 16-49-38 Скриншот экрана

Таким образом, для данной системы получаем 12 уравнений обычного типа:

2015-08-01 16-50-44 Скриншот экрана (1)

где коэффициенты δ11, δ12, ... определяются перемножением эпюр изгибающих моментов от единичных моментов, заменяю­щих моменты Х1, Х2 ,... Коэффициенты δ1p, δ2p ,....получаются перемножением этих же эпюр на эпюру изгибающих моментов от силы Р. Но сила Р и вообще все силы, прило­женные в узлах фермы, при шарнирном закреплении стерж­ней не дают изгибающих моментов. Следовательно,

2015-08-01 16-56-44 Скриншот экрана (2)

так как уравнения (1) являются независимыми, определитель системы не равен нулю (см. след. вопрос); в таком случае при соблюдении условия (2), очевидно,

2015-08-01 16-58-17 Скриншот экрана

Следовательно, при поставленных условиях система с жест­кими узлами эквивалентна системе с шарнирными соедине­ниями стержней.

Строго говоря, в системе рис. 257 все же возникают изгибающие моменты, обусловленные удлинением и укороче­нием стержней. Эти изгибающие моменты можно было бы получить из тех же уравнений (1), если только при подсчете коэффициентов δ11, δ12, ... ,δ1р, δ2р , ... учитывать перемещения за счет растяжения и сжатия стержней. Однако, оче­видно, напряжения, соответствующие этим моментам, будут много меньше напряжений, связанных с нормальными усилиями. В самом деле, при изгибе моментом М любого шарнирного бруса перемещения имеют величину порядка

  2015-08-01 17-02-22 Скриншот экрана, а при растяжении 2015-08-01 17-03-19 Скриншот экрана.

В данном случае порядок этих величин одинаков, т. е.

2015-08-01 17-04-07 Скриншот экрана.

Ho

2015-08-01 17-04-44 Скриншот экрана

поэтому имеем

2015-08-01 17-05-32 Скриншот экрана,

т. е. σизг имеет величину порядка 2015-08-01 17-06-44 Скриншот экрана. Но 2015-08-01 17-07-21 Скриншот экрана равно наибольшему расстоянию точки сечения от нейтральной оси, проходящей через центр тяжести, следовательно, 2015-08-01 17-08-01 Скриншот экрана—вели­чина весьма малая (отношение части размера сечения стержня к его длине).

Соответственно тот же порядок величины имеет и  σизг по сравнению с  σраст.