Задача

Определить закон распределения касательных напря­жений в поперечных сечениях бруса переменной толщины (рис. 59).

2015-07-31 13-55-09 Скриншот экрана

Из бруса двумя сечениями, проходящими на расстоя­нии х и x + dx от конца, выделим элементарный участок длиной dx (рис. 250).

2015-07-31 13-57-29 Скриншот экрана

Полученный элемент в свою очередь разделим горизон­тальной плоскостью, проходящей на расстоянии у от средней линии, на две части и рассмотрим условие равновесия верхней части ABCD. Очевидно, оно сводится к

2015-07-31 13-58-48 Скриншот экрана

Поскольку же

2015-07-31 13-59-26 Скриншот экрана,

то

2015-07-31 14-04-06 Скриншот экрана

Теперь условие равновесия перепишется в следующем виде:

2015-07-31 14-05-44 Скриншот экрана

откуда

2015-07-31 14-06-33 Скриншот экрана

Если закон изменения h и М линейный, то, так как по заданию h1 = 2h0, получаем:

2015-07-31 14-07-57 Скриншот экрана

Эпюры τ для нескольких сечений балки показаны на рис. 251.

2015-07-31 14-09-05 Скриншот экрана

Здесь в отличие от бруса постоянной толщины касательные напряжения в верхней и в нижней точках сече­ния в нуль не обращаются, поскольку секущая плоскость не перпендикулярна к верхней (А'В') и нижней (С'D’ )  ограни­чивающим поверхностям. Для торцового сечения эпюра пока­зана пунктиром, так как здесь закон распределения напряжений целиком определяется способом приложения внешней силы Р.

Если толщина балки h в зависимости от х меняется не слишком быстро, т. е. если угол расширения балки мал, полученное решение точно совпадает с решением, полученным методами теории упругости для клина.