Задача

Пологая гибкая пружина, изогнутая по дуге круга радиусом Rприжимается двумя силами Р к жесткой пло­скости (рис. 56).

2015-07-30 17-43-10 Скриншот экрана

При каких значениях сил Р  точки А будут прижаты к плоскости?

При решении задачи о деформации гибкой пружины (рис. 56) необходимо учитывать влияние сдвига на форму упругой линии пружины.

Если мы будем исходить из обычной зависимости между изгибающим моментом и изменением кривизны 2015-07-30 17-46-16 Скриншот экрана, то неминуемо придем к заключению, что точки А коснутся плоскости только при Р = ∞. Действительно, на концах пружины изгибающий момент равен нулю при любом конеч­ном значении сил Р, для полного же распрямления пружины необходимо, чтобы во всех ее точках момент был равен М =EJ R. В реальных условиях искомая сила, естественно, оказывается конечной.

Полученное противоречие объясняется тем, что при из­гибе силами Р у концов пружины, где изгибающий момент мал, изменение кривизны происходит главным образом за счет деформаций сдвига, которые и необходимо учесть при ре­шении задачи.

Обратимся к выражению (1)  (см. — здесь). Изменение кри­визны пружины, прижатой к жесткой плоскости, равно у" =  —1/RВ таком случае получаем

2015-07-30 17-51-21 Скриншот экрана

Решая это уравнение, находим

2015-07-30 17-52-02 Скриншот экрана

Постоянные определяем из следующих условий:

2015-07-30 17-52-53 Скриншот экрана

откуда

2015-07-30 17-53-29 Скриншот экрана

Искомая сила

2015-07-30 17-54-15 Скриншот экрана

При GF = ∞ (отсутствие сдвигов) α также обращается в бесконечность. В этом случае th α= 1 и, как и следовало ожидать, Р=∞.

Контактное давление по поверхности соприкасания пружины с жесткой плоскостью определяется как

2015-07-30 17-57-41 Скриншот экрана

Закон распределения по длине пружины показан в виде кривой на рис. 246.

2015-07-30 17-58-37 Скриншот экрана