Задача

На жесткий валик диаметром (рис. 55) надевается разрезанное упругое кольцо, внутренний диаметр которого равен D—Δ, т. е. имеет величину, меньшую диаметра валика на Δ .

2015-07-29 21-44-06 Скриншот экрана

При посадке, очевидно, кольцо несколько разгибается. Определить закон изменения изгибающего момента по контуру кольца и выявить характер силового взаимодействия между кольцом и валиком.

При посадке на валик кольцо не будет соприкасаться с валиком по всему контуру. На участках АВ кольцо отстает от валика, и плотное соприкасание будет только на участке ВВ (рис. 244).

2015-07-29 21-45-41 Скриншот экрана

На концы А со стороны валика действуют силы Q1. В точках В действуют силы Q2. Природа этих сил точно та же, что и в примере, рассмотренном в предыдущей задаче.

В зоне плотного прилегания можно представить себе рав­номерно распределенную нагрузку интенсивности q. Если пу­тем подбора сил Q1, Q2, q и угла α нам удастся удовлетворить всем условиям деформации кольца, то этим самым будет доказана правильность выбранной силовой схемы.

Так как участок ВВ, по предположению, плотно прилегает к валику, то кривизна кольца на этом участке будет равна, очевидно, постоянной величине 2/D. Изменение кривизны

2015-07-29 21-50-09 Скриншот экрана

есть тоже величина постоянная. Изгибающий момент на этом же участке ВВ будет

2015-07-29 21-51-17 Скриншот экрана,                                                  .

где EJ— жесткость кольца на изгиб. Следовательно, силы Q1, Q2  и q  должны быть выбраны так, чтобы на участке ВВ момент был постоянным и имел заданную величину.

В произвольном сечении кольца (рис. 244) имеем

2015-07-29 21-53-30 Скриншот экрана

или же

2015-07-29 21-57-49 Скриншот экрана

Момент остается постоянным, если потребовать, чтобы каж­дое из выражений, стоящих в прямоугольных скобках, обра­щалось в нуль:

2015-07-29 21-58-36 Скриншот экрана

тогда получаем

2015-07-29 21-59-25 Скриншот экрана

Таким образом, найдено. Двух уравнений (1) недостаточно для определения Q1, Q2  и α.

Потребуем теперь, чтобы расстояние между точками кольца А и С увеличилось на Δ. Это условие запишем в виде

2015-07-29 22-01-28 Скриншот экрана,

где MAB и МВВ — изгибающие моменты на участках АВ и ВВ, а М1 — изгибающий момент от единичных сил, прило­женных по направлению АС, соответственно равные:

2015-07-29 22-02-55 Скриншот экрана

После подстановки и интегрирования получаем

2015-07-29 22-03-38 Скриншот экрана

Решаем это уравнение совместно с уравнениями (1) и опре­деляем Q1 и Q2 :2015-07-29 22-04-38 Скриншот экрана

Величина  α  определяется из следующего трансцендентного уравнения:

2015-07-29 22-05-40 Скриншот экрана, которое дает α = 122°35'. Тогда имеем

2015-07-29 22-06-44 Скриншот экрана

Удовлетворив, таким образом, всем геометрическим условиям мы подтвердили правильность выбранной силовой схемы.

Эпюра изгибающего момента показана на рис. 245.

2015-07-29 22-07-38 Скриншот экрана