Задача

Однородная прямая балка длиной l и весом Р лежит на жесткой плоскости (рис. 54).

2015-07-29 16-13-32 Скриншот экрана

Определить величину напряжений, возникающих в балке при приложении к ее концу Р/3.

После приложения силы Р1, левая часть балки при­поднимется на некоторой длине а (рис. 241).

2015-07-29 16-19-37 Скриншот экрана

Правая часть будет лежать на плоскости и останется прямой. Следова­тельно, во всех сечениях правого участка изгибающий момент равен нулю. В частности, момент равен нулю и в се­чении х = а.

Из этого условия и определяется длина отрез­ка а, т. е. (см. рис. 241)

2015-07-29 16-20-52 Скриншот экрана

Из условия равенства нулю суммы проекций всех сил на вертикаль­ную ось вытекает, что в точке х = а жесткая плоскость дает реакцию Р1 (рис. 241).

При такой системе сил левую висящую часть бал­ки можно рассматривать как свободно опертую балку длины а, нагруженную равномерно распределенной нагрузкой интенсивности Р/ l  . Максимальный изгибающий момент будет иметь место на середине висящего участка и будет равен

2015-07-29 16-23-24 Скриншот экрана

При 2015-07-29 16-24-09 Скриншот экрана получаем:

2015-07-29 16-24-57 Скриншот экрана

Наиболее интересным и поучительным в рассмотренной задаче, да и вообще во всех задачах, где имеет место со­прикасание упругой балки с жесткой поверхностью, является возникновение сосредоточенной силы Р1 на границе участка прилегания.

На первый взгляд появление этой силы несколько неожи­данно, хотя формально ее существование полностью согла­суется с уравнениями равновесия и деформаций. Возникнове­ние этой силы обусловлено выбором расчетной схемы. При решении задачи рассматривалась только изгибная жесткость балки и предполагалось, что сдвиговые деформации в попе­речных сечениях отсутствуют. Учета этих деформаций уже достаточно, чтобы обнаружить, что схема контактных сил в виде равномерно распределенной нагрузки и сосредоточен­ной силы Р1 является приближенной. При этом нет даже необ­ходимости останавливаться на том, что за счет сжатия балки в поперечном направлении (как в обычных контактных за­дачах) сила Р1 будет распределена по некоторой малой площадке.

Рассмотрим деформации сдвига в балке.

Кривизна балки, связанная с изгибающим моментом, опре­деляется величиной

2015-07-29 16-27-06 Скриншот экрана

Если обозначить через  yQ   прогибы, вызванные сдвигом, то для любого сечения получим угол дополнительного наклона упругой линии в виде

2015-07-29 16-28-56 Скриншот экрана,

где k— числовой коэффициент, зависящий от формы попереч­ного сечения балки. Для прямоугольника, например, k= 6/5. для круга = 10/9 и т. д. Таким образом, получаем

2015-07-29 16-30-26 Скриншот экрана

Знак минус при 2015-07-29 16-31-04 Скриншот экрана  поставлен по той причине, что при по­ложительном значении М и Q  оба эти фактора дают измене­ние кривизны различного знака (рис. 242).

2015-07-29 16-31-59 Скриншот экрана

Так как  2015-07-29 16-32-57 Скриншот экрана, то полученное выше дифференциальное уравнение принимает вид

2015-07-29 16-34-30 Скриншот экрана (1)

В рассматриваемой задаче при х < a

2015-07-29 16-35-50 Скриншот экрана (2)

Согласно выражению (1) получаем

2015-07-29 16-36-43 Скриншот экрана

Произвольные постоянные C1 и С2 определяются из условий: при х= а  у' = 0, у = 0.

Таким образом, для первого участка получаем:

2015-07-29 16-53-11 Скриншот экрана

На втором участке кривизна равна нулю. Следовательно, со­гласно (1)

2015-07-29 16-53-58 Скриншот экрана (3)

откуда

2015-07-29 17-00-05 Скриншот экрана (4)

2015-07-29 17-00-59 Скриншот экрана

Из этих условий определяем произвольные постоянные С3 и С4:

2015-07-29 17-01-54 Скриншот экрана

Величина а определяется из условия равенства поперечных сил в точке сопряжения участков. При х = а производная момента, определяемого выражением (2), равна производной момента, определяемого выражением (4), следовательно,

2015-07-29 17-03-08 Скриншот экрана

В задаче предположено, что  2015-07-29 17-04-14 Скриншот экрана, поэтому

2015-07-29 17-04-53 Скриншот экрана (5)

Из этого трансцендентного уравнения определяется 2015-07-29 17-05-49 Скриншот экрана при заданном

2015-07-29 17-06-22 Скриншот экрана

Если αl  = ∞ , т. е. если балка не имеет сдвиговых де­формаций, то из (5) находим 2015-07-29 17-09-03 Скриншот экрана, что было получено ранее.

При αl  = 50 получаем: 2015-07-29 17-10-15 Скриншот экрана, а при αl =10 имеем  2015-07-29 17-11-06 Скриншот экрана.

Теперь определим распределенную нагрузку q по второму участку балки (q— разность между распределенной реакцией плоскости и собственного веса 2015-07-29 19-33-28 Скриншот экрана )  Из (4) получаем

2015-07-29 19-34-15 Скриншот экрана

При х = l  = 0, т. e. реакция опорной плоскости равна по­гонному весу балки. При х = а имеем

2015-07-29 19-36-19 Скриншот экрана

По мере роста αl, т. е. сдвиговой жесткости, qа стремится к бесконечности, и в пределе при αl = ∞  в точке х = а мы получаем сосредоточенную силу.

Изменение закона распределения реакции плоскости с ро­стом αl показано на рис. 243.

2015-07-29 19-39-18 Скриншот экрана