Задача

Витая цилиндрическая пружина, защемленная одним концом, нагружена на другом поперечной силой Р (рис, 49).

2015-07-26 14-10-22 Скриншот экрана

Определить вертикальное перемещение точки приложения силы. Угол подъема витков можно считать малым.

Предложенная задача может быть решена двумя спо­собами.

Первый способ, пригодный и для пружин большого угла подъема витка, заключается в том, что пружина рассматри­вается как пространственный брус. Перемещения определяются методом Мора. Основная трудность состоит при этом в слож­ности геометрических соотношений.

Второй, упрощенный способ, которым мы и воспользуемся, заключается в том, что пружина заменяется некоторым экви­валентным прямым брусом. Жесткость этого бруса на изгиб вычисляется в зависимости от взаимного поворота витков (рис. 229, а).

2015-07-26 14-12-49 Скриншот экрана

Кроме изгибных перемещений брусу свойственны заметные перемещения сдвига в вертикальной плоскости (рис. 229,6).

Чтобы определить жесткость эквивалентного бруса на изгиб и сдвиг, рассмотрим виток пружины, полагая, что угол подъ­ема равен нулю. Виток выделим сечениями, расположенными в вертикальной плоскости (рис. 230, а).

2015-07-26 14-14-38 Скриншот экрана

В концевых сечениях витка возникают моменты М и силы Q. Их величины легко определяются из условий равновесия отброшенной части пру­жины. Момент М создает взаимный угол поворота сечений на угол υ (рис. 230, б), величина которого определяется при помощи интеграла Мора

2015-07-26 14-33-24 Скриншот экрана,

где крутящий и изгибающий моменты, как видно из рис. 230, в, равны

MK = M cosφ и МИ = M sinφ.

Соответственные значения имеют и моменты от единичных факторов

MK1 = cos φ,   МИ1: = sin φ.

После интегрирования получаем:

2015-07-26 14-37-19 Скриншот экрана

Как следует из рис. 229, а,    1/ρ = υ/h, где h—шаг пружины.  При числе витков п имеем

h = l/nТогда

2015-07-26 14-41-13 Скриншот экрана

Величина

2015-07-26 14-42-15 Скриншот экрана

может рассматриваться как жесткость эквивалентного бруса на изгиб. Обозначим ее через СИ :

2015-07-26 14-43-32 Скриншот экрана

Перемещения сдвига обусловлены изгибом витка в его плоскости (рис. 230, г). Очевидно,

2015-07-26 15-46-13 Скриншот экрана

где

2015-07-26 15-47-32 Скриншот экрана

После интегрирования получаем:

2015-07-26 15-48-29 Скриншот экрана

Дополнительное угловое смещение

2015-07-26 15-49-14 Скриншот экрана

Это выражение можно написать в виде

2015-07-26 15-50-16 Скриншот экрана

Прогиб пружины, нагруженной поперечными силами, будет

2015-07-26 16-33-12 Скриншот экрана

В рассматриваемом конкретном случае защемленного одним концом бруса изгибное перемещение равно

2015-07-26 16-34-01 Скриншот экрана,

где величина EJ  должна быть заменена на Си.

Перемещение сдвига

2015-07-26 16-35-11 Скриншот экрана

Таким образом,

2015-07-26 16-36-05 Скриншот экрана

Величины Си и Ссдв определяются выражениями (1) и (4). Аналогично решается задача и при других видах нагружения.