Задача

В плоском сечении найти точку, обладающую тем свойством, что все проходящие через нее оси являются главными.

Рассмотрим плоское сечение с главными централь­ными осями х, у (рис. 215).

2015-07-21 12-53-36 Скриншот экрана

Пусть искомая точка А имеет координаты а, b. Теперь подберем а и b так, чтобы Juv  равнялось нулю при любом α. Сна­чала определяем по формулам переноса

2015-07-21 12-54-53 Скриншот экрана

Далее, по формуле для по­вернутых осей имеем

2015-07-21 12-55-50 Скриншот экрана

Для того чтобы  Juv  было равно нулю при любом угле α, необходимо, очевидно, чтобы

2015-07-21 12-56-51 Скриншот экрана

Из первого уравнения вытекает, что либо b, либо а, либо а и вместе равны нулю, т. е. искомая точка нахо­дится во всяком случае на одной из главных центральных осей. Примем, что Jy  ≥ Jx ,  и положим сначала  b = 0. Тогда

2015-07-21 12-59-13 Скриншот экрана

В случае  Jу > Jx   а является величиной мнимой. При 2015-07-21 13-00-22 Скриншот экрана

Положим теперь а = 0. Тогда

2015-07-21 13-01-09 Скриншот экрана

При  Jy > Jx    b— вещественно. При      Jy = Jx     b = 0.

Таким образом, мы получаем четыре искомые точки с координатами:

2015-07-21 13-02-39 Скриншот экрана

Точки, лежащие на оси минимального момента инерции,— мнимые. Точки, лежащие на оси максимального момента инерции, — вещественные. В случае, если главные моменты инерции равны Jx =Jy ), все четыре точки вещественны и находятся в центре тяжести. Тогда все оси, проходящие через центр тяжести, будут главными (круг, квадрат, равносторонний треугольник и др.).

В качестве примера рассмотрим прямоугольник со сторонами с и (рис. 216):

2015-07-21 13-04-35 Скриншот экрана

Геометрические характеристики:

2015-07-21 13-05-51 Скриншот экрана

Координаты искомых вещественных точек будут:

2015-07-21 13-06-40 Скриншот экрана

Эти точки (А) помечены на рисунке 216. Все оси, прохо­дящие через эти точки, будут главными.