Задача

Докажите следующее положение:

Если для множества осей, проходя­щих через какую-либо точку, можно ука­зать более одной пары несовпадающих главных осей, то можно утверждать, что вообще все оси, проходящие через эту точку, являются главными.

Рассмотрим некоторое плоское сечение (рис. 213).

2015-07-21 12-31-18 Скриншот экрана

Пусть оси х и у являются главными. Предположим, что су­ществует еще пара главных осей и, vне совпадающих с х, у  (угол α не кратен  π/2). Если оси и, главные, то  Juv =0.

Но известно, что

2015-07-21 12-33-12 Скриншот экрана

а поскольку оси х, у тоже глав­ные, то  Jxy= 0. Следовательно,

2015-07-21 12-34-02 Скриншот экрана,

но sin2α ≠ 0, поэтому 2015-07-21 12-35-41 Скриншот экрана (1)

Теперь рассмотрим произвольно взятую пару осей и1, v1  для которых

2015-07-21 12-37-06 Скриншот экрана

Очевидно, независимо от угла α1  имеем   2015-07-21 12-39-39 Скриншот экрана,т. е. любая пара осей u1, v1  является главной.

Из доказанного вытекает, что у всякого сечения, имею­щего три и более осей симметрии, все центральные оси яв­ляются главными, и осевой момент инерции относительно любой центральной оси будет одним и тем же [это вытекает из выражения (1)].

Этим свойством обладают, например, сечения, показан­ные на рис. 214 (квадрат, равносторонний треугольник, криволинейный шестиугольник и др.).

2015-07-21 12-46-07 Скриншот экрана