Задача

Набор круглых тонких шайб (рис. 74) надевается на болт того же материала, что и шайбы, и стягивается гай­кой с силой Р.

2015-08-06 22-46-05 Скриншот экрана

Полученный таким образом брус изгибается двумя моментами М. Определить изменение кривизны бруса и возникающие в нем напряжения при условии, что величина момента М достаточна для того, чтобы раскрыть контактные поверхности на нижней стороне бруса. Материал следует закону Гука. Диаметр болта можно считать равным вну­треннему диаметру шайб.

Пока момент М невелик, контактные поверхности шайб не раскрываются. В этом случае кривизна бруса будет определяться по обычной фор­муле

2015-08-06 22-52-00 Скриншот экрана

Наибольшее сжимающее напря­жение в шайбах будет

2015-08-06 22-52-42 Скриншот экрана

Наибольшее растягивающее на­пряжение в болте равно

2015-08-06 22-53-49 Скриншот экрана

Контактные поверхности в нижней части бруса начнут рас­крываться, когда М достигнет значения М1. При этом

2015-08-06 22-54-49 Скриншот экрана

При М > М1 контактные плоскости частично раскрываются, и задача требует нового решения.

Обозначим через ρ радиус кривизны оси болта (рис. 278).

2015-08-06 22-56-17 Скриншот экрана

Относительное удлинение любого слоя, находящегося на расстоянии у от оси, будет складываться из трех частей. Первая часть представляет собой удлинение, вызванное пред­варительным натяжением системы. Для болта это будет

2015-08-06 22-57-34 Скриншот экрана (1)

Для шайбы

2015-08-06 22-58-21 Скриншот экрана  (2)

Вторая часть ε0 представляет собой удлинение оси, пока нам неизвестное, получающееся вследствие искривления бруса (для болта и для шайб эта величина одна и та же).

Третья часть — 2015-08-06 22-59-51 Скриншот экрана(одинаковая для болта и для шайб) представляет собой то удлинение, которое получило бы во­локно в результате искривления бруса, если бы ось его не удлинялась. Таким образом, получаем:

2015-08-06 23-00-39 Скриншот экрана

Соответствующие напряжения будут:

2015-08-06 23-01-13 Скриншот экрана

При этом величина σш может быть только отрицательной (сжатие), и потому в выражении для σш

2015-08-06 23-02-19 Скриншот экрана (3)

Теперь напишем уравнения равновесия:

2015-08-06 23-03-09 Скриншот экрана

После подстановки σб и σш и интегрирования получаем:

2015-08-06 23-04-31 Скриншот экрана

где F6  и  Jб — площадь и момент инерции сечения болта от­носительно диаметра, 2015-08-06 23-07-11 Скриншот экрана — площадь, статический момент и момент инерции рабочего сечения шайбы, т. е.

2015-08-06 23-08-00 Скриншот экрана

Учитывая выражения (1), (2) и (3), приводим уравнение (4) к виду

2015-08-06 23-08-49 Скриншот экрана (6)

Из уравнения (5) получаем

2015-08-06 23-09-27 Скриншот экрана

Подставляя сюда  ε0 из (6), находим

2015-08-06 23-10-29 Скриншот экрана (7)

Подставляя же ε0 из (6) в выражение (3), имеем

2015-08-06 23-11-44 Скриншот экрана (8)

Поскольку ε'ш задано, a 2015-08-06 23-07-11 Скриншот экрана зависят только от y1 ,то выражения (7) и (8) можно рассматривать как параметри­ческую зависимость кривизны 1/ρ от момента М при пара­метре y1. Через этот же параметр у1 легко выразить наиболь­шее сжимающее напряжение в шайбах и наибольшее растяги­вающее напряжение в болте:

2015-08-06 23-27-13 Скриншот экрана

Таким образом, задачу можно считать решенной.

Ход расчетов должен быть следующим. Задаваясь несколь­кими значениями у1 определяем по формуле (7) значения мо­мента М. Когда вычисленное М совпадает с заданным, из формул (8) и (9) для соответствующего у1 находим: 1/ρ, σш и σб.

Остается еще выписать выражения для 2015-08-06 23-07-11 Скриншот экрана. Эти величины определяются интегрированием выражений dF,  у dFи ydF по рабочей площади шайб (рис. 279).

2015-08-06 23-31-43 Скриншот экрана

2015-08-06 23-32-53 Скриншот экрана2015-08-06 23-33-46 Скриншот экрана

Эти величины можно определять также и численно, суммируя элементарные площадки сечения, умноженные на первые и 2015-08-06 23-35-19 Скриншот экрана2015-08-06 23-36-47 Скриншот экрана

В выражениях (7), (8) и (9) предварительное натяжение системы определяется множителем εш  (2). Если Р = 0, то ε‘ш  = 0, и тогда, очевидно [см., например, выражение (7)],

2015-08-06 23-42-45 Скриншот экрана

(поскольку М, вообще говоря, не равно нулю).

Отсюда может быть найдена постоянная величина  у1 . Таким образом, при отсутствии предварительного натяжения поло­жение границы раскрытия шайб (у1) не зависит от изгибающего момента и определяется написанным выше соотноше­нием. При  εш  <  0 величина

2015-08-06 23-45-32 Скриншот экрана

должна оставаться отрицательной. Поэтому у1 всегда будет меньше того значения, которое оно имело бы при отсутствии предварительной затяжки.