Лекция-беседа В.И. Феодосьева «Основные правила и принципы в сопротивлении материалов»

Как уже говорилось выше, при выборе расчетной схемы реальная конструкция идеализируется. Сохраняется существенное для рассматриваемой задачи и отбрасывается несущественное. Такого рода упрощений обычно недостаточно. При анализе выбранной расчетной схемы необходимо бывает принять еще некоторые предпосылки, относящиеся уже не к вопросам идеализации, а к методам последующего анализа. Если эти предпосылки носят общий характер и лежат в основе решения подавляющего большинства задач, их называют руководящими правилами или принципами.

Если следовать большинству толковых словарей, то руководящее правило и принцип—синонимы. Но в научном тексте они имеют различные оттенки. Принцип есть основополагающее недоказуемое в общем виде утверждение, отличающееся от аксиомы своей общностью. Руководящее правило — это нечто обыденное и менее универсальное.
Автор и лектор вольны употреблять эти термины в зависимости от обстоятельств и желания подчеркнуть относительную значимость вопроса.

В сопротивлении материалов и в теории упругости есть три таких правила-принципа. Это — относительная жесткость систем, принцип суперпозиции и принцип Сен-Венана.

Первый из указанных принципов основан на том, что в подавляющем большинстве случаев форма тела под действием внешних сил меняется несущественно. Это позволяет при составлении уравнений равновесия рассматривать тело как недеформированное, имеющее те же геометрические размеры, какие оно имело до нагружения.

До тех пор, пока теория упругости и сопротивление материалов рассматривали в основном относительно жесткие системы, это правило выглядело как достаточно универсальное. Оно называлось, да и сейчас обычно называется, принципом отвердевания или принципом неизменности начальных размеров.

Если на конце консоли (рис. 25, а) будет приложена сила Р, то балка изогнется, и точка приложения силы сместится.

2015-04-21 20-18-36 Скриншот экрана

Для определения внутренних сил в сечении А необходимо воспользоваться методом сечений и рассмотреть условия равновесия отсеченной части (рис. 25, б). Здесь, однако, возникает затруднение в связи с тем, что новые геометрические размеры отсеченной части остаются неизвестными, пока не определены внутренние силы, зависящие в свою очередь от геометрической формы системы. При малых перемещениях указанное обстоятельство не имеет значения, поскольку деформированная система несущественно отличается от недеформированной. В этом случае в соответствии с правилом относительной жесткости уравнения равновесия составляются для недеформированной системы, и тогда
N = О, Q= Р, М = Рх.
Задача, таким образом, резко упрощается.

Понятно, что этого правила нельзя придерживаться в случае больших перемещений (рис. 26).

2015-04-21 20-20-25 Скриншот экрана

Кроме того, оно может оказаться неприемлемым и при малых перемещениях, если форма нагруженного тела меняется существенным образом.
Например, при тех же малых прогибах изменение формы будет иметь существенное значение, если гибкая консоль нагружена не поперечной, а продольной силой Р (рис. 27). Здесь изгибающий момент в сечении А может быть определен только с учетом возникающих прогибов балки.
Обычным примером для иллюстрации отступлений от правила относительной жесткости является система, состоящая из двух шарнирно связанных стержней, расположенных на одной прямой (рис. 28, а).

2015-04-21 20-22-19 Скриншот экрана

Уравнения равновесия для отсеченного узла должны в данном случае составляться с учетом угла, возникающего в результате удлинения стержней. Даже малые изменения формы системы в данном случае влияют на условия равновесия существенным образом.

2015-04-21 20-23-08 Скриншот экранаДля систем подобного рода характерной является нелинейная зависимость между
перемещениями и внешними силами. Это и понятно. Если геометрия тела меняется cущественным образом, то каждому новому значению силы соответствует новая геометрия тела. Это означает, что в процессе изменения силы меняется жесткость системы, и зависимость между перемещениями и силой становится нелинейной.

Обратное утверждение неверно. Если зависимость между перемещениями и силами нелинейна, то это еще не значит, что нельзя руководствоваться правилом относительной жесткости. В самом деле, нелинейность может иметь двоякое происхождение: либо она возникает вследствие существенных изменений формы тела в процессе нагружения, либо же она связана с тем, что материал не следует закону Гука. В первом случае из нелинейности между перемещениями и силами вытекает неприменимость правила относительной жесткости. Во втором случае такого вывода сделать нельзя. Материал может не следовать закону Гука, но если изменение формы несущественно, к системе полностью применимо это правило.

Если заранее известно, что между перемещениями и силами существует линейная зависимость, то можно почти уверенно утверждать, что при анализе системы можно придерживаться правила относительной жесткости. В качестве исключения можно представить себе лишь искусственно созданную систему, в которой нелинейности, связанные с существенными изменениями геометрической формы, в точности компенсировались бы нелинейностями свойств материала.

Необходимо отметить, наконец, что уже в законе Гука σ = Е ε содержится в неявной форме признание принципа неизменности начальных размеров, поскольку не оговаривается, по отношению к какой площади и к какой длине следует вычислять при испытаниях образцов величины σ и ε.

Погрешности при определении модуля Е будут не меньше, естественно, тех погрешностей, которые вносятся принятием относительной неизменности начальных размеров.

В связи со сказанным. наивно выглядят попытки при помощи чисто геометрического подхода учесть несущественные изменения формы тела и тем самым «уточнить» решение задачи.

2015-04-21 20-29-11 Скриншот экрана

Такого рода попытки делаются обычно начинающими студентами при анализе, например, трехстержневой системы, показанной на рис. 29, когда учащийся задается целью «учесть» нелинейность, возникающую вследствие изменения угла α , по схеме:

Уравнение равновесия —2015-04-21 20-36-27 Скриншот экрана

 уравнение деформаций —2015-04-21 20-38-16 Скриншот экрана

Понятно, что такого рода уточнение является иллюзорным, поскольку при этом не уточняется исходная зависимость Δ =f (P).

Системы, для которых соблюдается условие пропорциональности между перемещениями и внешними силами, подчиняются второму из основных правил (принципов сопротивления материалов) — принципу суперпозиции, или независимости действия сил. В соответствии с этим принципом перемещения, напряжения и деформации нагруженного тела считаются не зависящими от порядка приложения сил; действие суммы сил равняется сумме их действий.
Положим, что к некоторому телу (рис. 30) приложена сила P12015-04-21 20-47-20 Скриншот экрана

Перемещение точки А в некотором произвольно выбранном направлении будет пропорционально силе P1т. е.

 (1)  u = δ1P1  

где δ1 — коэффициент пропорциональности. Примем теперь, что сила P1  снята, и в некоторой новой точке приложена сила P2. Перемещение, которое вызовет эта сила в точке А в том же направлении, будет
u= δ2P2   (2)
Коэффициенты пропорциональности δ1 и δ будут, конечно, различными, поскольку силы P1 и P2 приложены в разных точках тела. Будем считать, что принятая линейная зависимость между перемещениями и силами сохраняется как при возрастании, так и убывании сил и предопределяет, следовательно, и упругие свойства тела.
Рассмотрим теперь совместное действие сил P1 и P2.. Приложим к упругому телу силу P1, а затем, не снимая ее, силу P2. Тогда перемещение, которое получит точка А, можно записать при помощи следующего выражения:

(3)         uА= δ1P1 +δ′2P2                  
Коэффициент δв данном случае будет тем же, что и в выражении (1), поскольку сила P1 прикладывалась к ненагруженной системе. Коэффициент же δ2', в отличие от введенного ранее коэффициента δ2, отмечен штрихом, так как сила Pприкладывалась не к свободной системе, а к системе, предварительно нагруженной силой P1.

Если коэффициенты δ2 и δ′различны, то следует признать, что δ′зависит от силы P1. Тогда выражение (3) противоречит основному предположению о том, что при любых силах перемещения зависят от действующих сил линейно. Следовательно δ′2 от Pне зависит. При P1=0 выражение (3) должно переходить в выражение (2). Следовательно,

δδ2, и тогда uА= δP+ δ2P2                (4)

Таким образом, перемещение определяется суммой результатов независимых действий сил Pи P2. В частности, оно будет верным и в том случае, если силы P1 и P2 приложены в одной точке. Если изменить порядок приложения сил, то путем аналогичных рассуждений легко прийти к тому же выражению (4). Следовательно, результат действия сил не зависит от порядка их приложения. Сказанное легко обобщается и на случай любого числа сил.

Итак, в основе принципа независимости действия сил лежит предположение о линейной зависимости между перемещениями и силами при любой системе сил и, кроме того, предположение об обратимости процессов нагрузки и разгрузки.

В свете сказанного становится правомерным наряду с силовым рассматривать и температурное воздействие. Температурная деформация пропорциональна изменению температуры. Если материал подчиняется закону Гука и при нагреве не возникает пластических деформаций, то в приведенных выше рассуждениях под P1 или P2  или под тем и другим вместе можно понимать температуры или, точнее говоря, температурные поля. Естественно, это верно до таких значений температур, при которых модуль упругости Е может считаться не зависящим от температуры, как до этого он считался независимым от сил. Точно так же и коэффициент линейного расширения α предполагается не зависящим от напряжений и температуры.

Применимость правила относительной жесткости предопределяет заранее и применимость принципа суперпозиции. Обратное — неверно.

Сказанное можно пояснить схемой, изображенной на рис. 31, где показана группа систем, имеющих линейные и нелинейные зависимости между перемещениями и силами, а также области применения двух рассмотренных выше правил.

2015-04-21 21-27-08 Скриншот экрана
Применение принципа независимости действия сил к решению задач сопротивления материалов и теории упругости дает очень много. Оно позволяет, во-первых, при большом числе внешних сил получить решение как результат наложения частных решений. Кроме того, на основе принципа независимости действия сил можно получить общие теоремы (теоремы взаимности, Кастилиано и др.), применение которых позволяет создать эффективные методы расчета многих сложных систем.

Перейдем теперь к принципу Сен-Венана. Этот принцип утверждает следующее: если в пределах некоторой области упругого тела приложена система сил, то на расстояниях, существенно превышающих характерные размеры взятой области, напряжения и деформации практически одинаковы для всех статически эквивалентных систем сил.

Принцип Сен-Венана прочно вошел в методы решения задач сопротивления материалов, и все то, что этим принципом утверждается, воспринимается обычно как само собой разумеющееся. Так, например, при решении задачи об изгибе балки (рис. 32) не ставится вопрос о том, как приложена сила Р и каким образом осуществляется связь балки с опорами.

2015-04-21 21-29-31 Скриншот экрана

Между тем здесь возможен целый ряд конструктивных вариантов. Некоторые из них показаны на рис. 33.

2015-04-21 21-30-29 Скриншот экрана

В данном случае принцип Сен-Венана утверждает, что независимо от конструкции узлов, и, следовательно, независимо от способа передачи усилий на балку, в зонах, достаточно удаленных от мест приложения сил, напряжения и деформации в балке определяются только равнодействующими — силой Р и связанными с ней реакциями опор. Расстояние, на котором особенности приложения сил уже теряют свое значение, имеет величину порядка размеров поперечного сечения бруса.

Исследование напряжений, возникающих в подвесках, проушинах, тележках, сварных швах и в заклепках, представляет собой особую задачу. При анализе напряжений в пределах каждого узла принцип Сен-Венана также находит свое место. В частности, напряжения в заклепках узла, показанного на рис. 34, определяются величиной равнодействующей и практически не зависят от того, каким образом распределены внешние силы в зоне проушины.

2015-04-21 21-32-41 Скриншот экрана

Применение принципа Сен-Венана позволяет существенно расширить общность основных расчетных формул сопротивления материалов, поскольку освобождает от необходимости учитывать конкретные особенности местного распределения сил.
Принцип Сен-Венана, как и все прочие принципы, в общем виде не доказывается, хотя в ряде частных случаев полностью подтверждается на примерах решения задач методами теории упругости.

Для подавляющего большинства встречающихся на практике систем можно применять принцип Сен-Венана. Так, на основе применения этого принципа построен расчет стержневых и рамных систем. На основе этого принципа устанавливаются статически эквивалентные условия на контуре пластин или оболочек. Имеются и другие наглядные примеры его эффективности. В данном случае, однако, интереснее рассмотреть не столько правила, сколько исключения.

Прежде всего следует указать на то, что по своей сущности принцип Сен-Венана не имеет смысла, когда речь идет о местных напряжениях или, иначе говоря, об определении напряжений в зоне приложения сил. К числу подобных задач относятся в первую очередь все контактные задачи. Сюда же относятся задачи об определении напряжений в зоне наложения местных связей типа жестких вставок или, наоборот, ненагруженных отверстий.

Широкий класс систем, при анализе которых не всегда можно воспользоваться принципом Сен-Венана, образуется на основе схемы тонкостенного стержня.

На рис. 35 показано нагружение тонкостенного и сплошного стержня силой Р, передаваемой через жесткую скобу. Как в одном, так и в другом случае в окрестности торца напряжения по поперечному сечению распределены неравномерно. Обычно принимается, что эта неравномерность является существенной лишь для областей, простирающихся по оси стержня на расстояние порядка размеров поперечного сечения.

2015-04-21 21-52-14 Скриншот экрана

Для сплошного стержня такое утверждение является правильным. Для тонкостенного же стержня размер зоны неравномерного распределения напряжений будет существенно выше. Иными словами, в тонкостенном стержне проникновение краевых особенностей вдоль оси заметно больше, чем в сплошном стержне. Поэтому нельзя сразу сказать, выравниваются или не выравниваются напряжения в поперечном сечении для стержня заданной длины, т. е. неизвестно, можно или нельзя воспользоваться в данном случае принципом Сен-Венана.

Сказанному можно дать простое физическое толкование. Поперечное сечение тонкостенного стержня характеризуется, в отличие от сплошного, еще и толщиной. Каждая полка двутаврового сечения (рис. 36) нагружена внецентренно приложенной силой P/2.

2015-04-21 21-54-28 Скриншот экрана

Если бы стенка профиля отсутствовала,то полки изгибались бы независимо, и действие каждого момента на полку распространялось бы на всю ее длину. Равномерного распределения напряжений по сечению в этом случае не возникло бы. Вопрос заключается в том, сколь жесткой является связь между полками. Для сплошного сечения эта связь очень жесткая, и неравномерность распределения напряжений в поперечном сечении ограничена узкой областью. Для тонкостенного стержня жесткость связи мала и эта неравномерность проникает неизмеримо дальше. Чем меньше толщина стенки, тем заметнее указанный эффект.
В рассмотренном примере глубина проникновения краевого эффекта определяется жесткостью стенки на изгиб и кручение. При других видах нагружения, например, в случае двух моментов, приложенных к одной полке (рис. 37), картина распределения напряжений в сечении определяется жесткостью на сдвиг и растяжение стенки в ее плоскости. Эта жесткость существенно больше, чем жесткость на изгиб или кручение. Поэтому в случае, показанном на рис. 37, влияние краевого эффекта распространяется на значительно меньшую глубину.

2015-04-21 21-56-14 Скриншот экранаСледовательно, степень затухания краевых особенностей определяется «демпфирующим» действием дополнительных связей, органически присутствующих в системе.
Эту мысль можно пояснить на примере фермы, показанной на рис. 38. На первый взгляд кажется, что действие самоуравновешенной системы двух сил Р, Р распространяется лишь на часть близко расположенных стержней, а на достаточном удалении от точек приложения сил стержни останутся практически ненагруженными. Однако это не так. Система — статически определима, и передача усилий через стержни дополнительными связями не ограничивается.

2015-04-21 21-58-24 Скриншот экрана

Отрезая ячейку фермы, состоящую из четырех стержней (рис. 39), получим для укороченной фермы опять те же две силы, но другого знака. Продолжая этот процесс, видим, что системе свойственна периодичность изменения сил, не сопровождающаяся затуханием.

2015-04-21 21-59-31 Скриншот экрана
Если ввести в ферму дополнительные связи в виде пружин (рис. 40), то получим затухание. Предоставляя читателю возможность решить эту простую задачу самостоятельно, укажем только, что
2015-04-21 22-04-23 Скриншот экрана
где Nn и N1   — усилия в соответствующих стержнях п-й и первой ячеек, а С — постоянная, меньшая единицы и зависящая от соотношения жесткостей пружин и стержней. Чем больше жесткость пружины, тем меньше С.

Таким образом, характер приложения внешних сил в сочетании с конструктивными особенностями системы предопределяет в каждом конкретном случае возможность или невозможность обращения к принципу Сен-Венана. Существенную роль играет и анизотропия материала. Так, например, при растяжении деревянного бруска вдоль волокон (рис. 41) следует ожидать более медленного выравнивания напряжений, чем в случае изотропного материала. Это определяется, очевидно, заметным различием между жесткостью слоев дерева на растяжение и жесткостью межслойного вещества на сдвиг.

2015-04-21 22-07-13 Скриншот экрана
Аналогичную роль может играть и конструктивная анизотропия. В частности, для ткани при растяжении вдоль нитей (рис. 42) выравнивание напряжений по сечению возможно только на очень больших расстояниях от места приложения сил. Та же картина может иметь место и в слоистых конструкциях, когда один из слоев образован податливым наполнителем.

Итак, при достаточно больших расстояниях от мест приложения сил напряженное состояние во всех случаях определяется равнодействующими приложенных сил. Для обычных систем местные особенности приложения сил теряют свое значение на малых расстояниях, для некоторых систем — на больших и, наконец, в исключительных случаях — на очень больших расстояниях. Таким образом, вопрос о том, можно или нельзя пользоваться принципом Сен-Венана, решается путем сравнения глубины проникновения краевых особенностей и общих размеров тела. Вернемся, например, к растянутому стержню, показанному на рис. 36. Если тонкостенный стержень настолько длинен, что зона неравномерного распределения напряжений занимает только небольшую часть общей длины, то принципом Сен-Венана воспользоваться можно. Если же стержень имеет длину одного порядка с размерами зоны неравномерности, то сделать этого нельзя.

Подобного рода заключения имеют относительный характер, и в рассмотренном примере это очень хорошо видно. В самом деле, в качестве основного параметра, характеризующего внешние силы, была принята их равнодействующая. Можно охарактеризовать эти силы более точно и ввести в рассмотрение, кроме равнодействующих, еще и бимомент. Тогда, пользуясь теорией тонкостенных стержней, мы сможем определить законы распределения напряжений по длине стержня и по контуру его сечения. Конечно, равнодействующая и бимомент вместе так же не определяют закона распределения сил на торце, как ранее не определяла одна равнодействующая. Однако два параметра более точно характеризуют внешние силы и снижают степень неопределенности в различных способах приложения этих сил. Это и дает возможность уточнить закон распределения напряжения.

Таким образом, на большом расстоянии от торца напряжения определяются только равнодействующей внешних сил, на меньшем расстоянии — равнодействующей и бимоментом. Все прочие более тонкие особенности приложения сил сказываются на законах распределения напряжений в еще более узкой области, примыкающей к торцу. Если в дополнение к равнодействующей и бимоменту ввести новые параметры, характеризующие внешние силы, то можно рассчитывать на дальнейшее сужение зоны распространения неучтенных местных напряжений.

В результате напрашивается некоторая расширенная трактовка принципа Сен-Венана. Суть ее сводится к тому, что влияние неучтенного остатка в последовательном описании характера приложения внешних сил сказывается в зоне, имеющей относительно меньшие размеры. Чем выше степень отражения индивидуальных особенностей внешних сил, тем уже область влияния неучтенного «остатка».

Рассмотренные в настоящей главе правила — принципы положены в основу не только курса сопротивления материалов, но и других разделов механики деформируемого тела (теория упругости, строительная механика и др.). Понятно, что широкое и повседневное применение указанных правил не освобождает нас от необходимости внимательно следить за их применимостью в каждом конкретном случае.