Лекция-беседа В.И. Феодосьева «О предельных состояниях»

В зависимости от условий нагружения материал может находиться в различных механических состояниях. При небольших внешних силах и, соответственно, при небольших напряжениях материал находится в упругом состоянии. При больших силах обнаруживаются заметные остаточные деформации, и материал находится в упругопластическом состоянии. При еще больших напряжениях происходит образование местных трещин и наступает состояние разрушения.

В сопротивлении материалов предполагается, что механические состояния полностью определяются напряжениями, возникающими в материале. Те напряженные состояния, при которых происходит переход из одного механического состояния в другое, носят название предельных. Соответственно этому часто называют предельными и сами механические состояния, если свойства материала лежат на границе его качественных изменений.

Механическое состояние материала определяется не только величиной напряжений, но и другими факторами.

Прежде всего оно зависит от истории нагружения. Если в образце вызвать пластические деформации, то в процессе разгрузки материал проявляет упругие свойства. При последующем нагружении эти свойства также сохраняются, если только силы повторной нагрузки не превышают сил предварительного нагружения. Эта зависимость четко устанавливается из опыта и хорошо известна.

Механическое состояние материала меняется в зависимости от температуры и времени воздействия сил. В одном и том же напряженном состоянии при быстром изменении нагрузки механическое состояние материала может рассматриваться как упругое, а при медленном — как упруго-пластическое. Особенно заметен этот эффект при высоких температурах. В некоторых случаях большое влияние может оказывать также скорость изменения температуры.

Указанные зависимости являются чрезвычайно сложными и трудно поддаются анализу. Поэтому область исследования приходится сужать и рассматривать механические состояния в пределах сравнительно небольших интервалов изменения температур и скоростей нагружения.

Это позволяет считать, что переход из одного механического состояния в другое определяется только характером напряженного состояния и зависит от структурных особенностей материала.

Методы физики твердого тела пока не дают возможности вникнуть в микромеханизм образования пластической деформации и разрушения в той мере, в какой это требуется для ведения практических расчетов. Поэтому механика деформируемого тела строится на результатах испытания материала при основных видах напряженных состояний.

В итоге задача может быть поставлена в следующем виде. Дан материал. С ним может быть произведено ограниченное число испытаний. Требуется предсказать условия перехода из одного механического состояния в другое при всех видах напряженных состояний. Теория, позволяющая решить эту задачу, носит название теории предельных состояний.

Теория предельных состояний связана с изучением свойств материала. Зная состояние материала для различных точек напряженного тела, можно вынести в дальнейшем определенные суждения и о свойствах конструкции. Для того чтобы сделать достаточно эффективным практическое применение теории предельных состояний, вводится еще одно важное упрощающее предположение, а именно, принимается, что механическое состояние в каждой точке тела определяется напряженным состоянием только в этой точке. Такой подход освобождает от необходимости учитывать поведение материала в соседних областях. Напряженное состояние всего тела анализируется только в той мере, в какой это необходимо для отыскания наиболее опасной точки.

При расчете конструкций в подавляющем числе случаев мы имеем дело с неоднородными напряженными состояниями, многообразие которых весьма велико. Поэтому естественно, что принятие гипотезы об «ответственности» напряженного состояния в точке за механическое состояние в той же точке является пока единственным выходом из непреодолимых трудностей, которые возникли бы при попытке создать теории предельных состояний, учитывающие все особенности неравномерного распределения напряжений.

Однако то, что является предельным для материала, не является предельным для конструкции. Выше уже говорилось, что появление пластических деформаций в небольшом объеме детали не нарушает существенно несущей способности конструкции. Мало того, даже возникновение местных трещин далеко не всегда приводит к разрушению конструкции. Примером тому могут служить железобетонные конструкции, в которых образование местных трещин не вызывает, как правило, опасений за все сооружение в целом.

Об этом обстоятельстве обычно забывают. Считается как-то само собой разумеющимся, что для оценки состояния материала в точке достаточно рассмотреть напряженное состояние в этой же точке. Между тем такая предпосылка может привести к противоречию с принятой ранее схемой сплошной среды. Особенно это может оказаться заметным при большой неоднородности напряженного состояния.

Получается так, что, с одной стороны, необходимо рассматривать достаточно малый объем для того, чтобы в его пределах напряжения не менялись существенным образом. С другой стороны, рассматриваемый объем должен быть достаточно большим для того, чтобы он заключал в себе достаточно большое количество кристаллических зерен металла, так как только в этом случае в пределах рассматриваемого объема смогут в достаточной полноте проявиться статистические закономерности, свойственные данному механическому состоянию.

На стадии предварительного испытания образцов необходимо соблюдать условие однородности напряженного состояния, т. е. необходимо обеспечить постоянство напряженного состояния для всех точек испытуемого образца. Это условие соблюдается, например, при растяжении, частично при сжатии короткого образца и при кручении тонкостенной трубки. Изменение свойств материала в этих испытаниях происходит одновременно во всем объеме образца и легко поддается количественной оценке. При кручении сплошных образцов и при испытании на изгиб напряженное состояние является неоднородным. Качественные изменения свойств материала в отдельных точках не влекут за собой заметных изменений в поведении образца. Процессы, происходящие в материале, проявляются только в среднем объеме образца, и результаты испытаний требуют дополнительной расшифровки, при которой теряется степень объективности.

Особенности структуры проявляются различно в зависимости от того, происходит ли переход от упругого состояния в пластичное или от пластичного к состоянию разрушения. Механизм образования пластических деформаций связан с необратимыми сдвигами в кристаллической решетке, начало разрушения — с образованием трещин, проходящих либо внутри зерен, либо в межкристаллическом слое.

Таким образом, физико-механические процессы, происходящие в структуре материала при возникновении пластических деформаций и при начале разрушения, различны. Очевидно, что различным должен быть и подход к анализу предельных состояний.

Как это ни странно, но только сравнительно недавно был осознан тот простой факт, что необходимо четкое разграничение вопросов возникновения пластических деформаций и начала разрушения (теории прочности). Часто еще и теперь критерий начала образования пластических деформаций без всякого к тому основания используется в качестве критерия прочности, а критерий прочности в качестве критерия образования пластических деформаций. Такое произвольное использование критериев часто является причиной ошибок и недоразумений в расчетной практике.

Эти недоразумения проистекают в какой-то мере из названия «теории прочности», которое с давнего времени укрепилось за теориями предельных состояний. Если взять, например, теорию максимальных касательных напряжений или теорию энергии формоизменения, то для пластичных материалов эти теории определяют только условия перехода из упругого состояния в пластическое. Что же касается ожидаемых, судя по названию, условий прочности, то их эти теории не дают.
С целью устранить возникшую терминологическую невязку, пытаются иногда теории, трактующие действительно вопросы прочности, называть теориями разрушения, сохранив за прочими установившееся старое название. Так, в частности, теория наибольших нормальных напряжений, отражающая в некоторой мере условия прочности для очень хрупких материалов, могла бы называться теорией разрушения. Термины «теория разрушения» и «критерий разрушения» используются часто для того, чтобы подчеркнуть принадлежность того или иного исследования к вопросам прочности в правильном понимании этого слова, в отличие от неверно установившегося.

В последние годы сложилось уже достаточно определенное мнение о том, чтобы отказаться от термина «теории прочности» как от обобщающего, и заменить его другим. Наиболее подходящим для этой цели оказался термин «теории предельных состояний», которого мы здесь и придерживаемся.

В настоящее время создано много теорий предельных состояний, частично удовлетворяющих запросы практики, частично не удовлетворяющих. История поисков наиболее общих, наиболее правильных и практически приемлемых теорий предельных состояний продолжается, и предстоит, очевидно, сделать еще очень многое, чтобы решить эту основную проблему прочности. Однако некоторые итоги подвести уже можно.

Все предложения, связанные с созданием теорий предельных состояний, можно разбить на две группы.

Первая группа это — критериальные гипотезы. Высказывается предположительно некоторый критерий предельного состояния. Принимается, например, что переход из одного механического состояния в другое определяется наибольшими главными деформациями, или наибольшими касательными напряжениями, или касательными напряжениями в октаэдрических плошадках, или энергией формоизменения, или, наконец, какими-то комбинированными признаками, образованными из перечисленных. Перечень таких предположений может быть продолжен.

В дальнейшем принятая гипотеза должна быть проверена экспериментально. Если для большого числа случаев опыт подтверждает гипотезу и если полученные расчетные формулы обладают достаточной простотой, гипотеза внедряется в расчетную практику и рассматривается уже как теория. Так, например, возникли теория максимальных касательных напряжений и теория энергии формоизменения, трактующие условия перехода материала из упругого состояния в пластичное.

Ко второй группе относятся теории, основанные на систематизации результатов испытания. Методически они являются более предпочтительными и в большей степени соответствуют общему духу построения науки о сопротивлении материалов.

Действительно, для сопротивления материалов характерным является то, что свойства материалов вводятся в расчет путем систематизации испытаний. Это начинается прежде всего с закона Гука. Закон Гука в сопротивлении материалов воспринимается как экспериментально установленный факт. Этот закон представляет собой определенное внешнее проявление сложных процессов, происходящих при деформировании структурных элементов материала. Изучение причин, порождающих зависимость
σ = Еε,
выходит за рамки сопротивления материалов.

Точно так же возникновение пластических деформаций при одноосном напряженном состоянии рассматривается в сопротивлении материалов как наблюдаемый факт, получающий свою количественную оценку в диаграмме испытания материала. Анализ природы этого явления опять-таки выходит за рамки сопротивления материалов и включается в сферу физики твердого тела. Все сказанное можно повторить и по поводу целого ряда других характеристик, используемых в практических расчетах.

В свете сказанного логично сохранить этот подход и решать вопрос о предельных напряженных состояниях на основе наблюдаемых явлений, т. е. также путем систематизации найденных характеристик.

Если уже принято, что определяющим фактором в рассматриваемом вопросе является напряженное состояние в точке, то для изотропного материала мы имеем три параметра, в зависимости от которых и должно исследоваться явление перехода материала к новому состоянию. В качестве этих параметров могут быть взяты либо три главных напряжения, либо три инварианта напряженного состояния. Остается проследить, как меняется состояние материала в зависимости от этих трех величин.

С методической точки зрения задача выглядит как будто довольно просто. Проводя серию испытаний, откладываем по осям х, у, z (рис. 58) значения каждого из параметров.

2015-04-23 22-21-54 Скриншот экрана

В результате получаем поверхность, разделяющую области двух состояний. Если нас интересует переход из упругого состояния в пластическое, то это будет одна поверхность. Если интересует состояние разрушения, то получим вторую поверхность.
Практически, однако, такое решение не может быть реализовано, и к этому имеется несколько причин.
Прежде всего ограничения налагаются требованием однородности. Как уже говорилось, испытания должны проводиться в условиях однородного напряженного состояния. Только в этом случае можно с достаточной достоверностью подметить в образце изменения, соответствующие качественным изменениям свойств самого материала. Однако мы не располагаем средствами для создания в испытуемых образцах той гаммы однородных напряженных состояний, которая необходима для построения предельных поверхностей. В частности, до сих пор не удается реализовать однородное напряженное состояние с положительными главными напряжениями
2015-04-23 22-23-03 Скриншот экрана

Сравнительно просто реализуются однородные двухосные напряженные состояния путем испытания хотя бы трубчатых цилиндрических образцов на внутреннее давление и осевое растяжение. Добавочное кручение образца в части расширения класса напряженных состояний ничего не меняет.

Трехосные напряженные состояния сжатия, естественно, создаются путем наложения на испытуемый образец всестороннего гидростатического давления. Исследование этого класса напряженных состояний дает наиболее интересные результаты в области высоких давлений, при которых возможны качественные изменения в характеристиках материала.

На основе перечисленных классов напряженных состояний построить предельные поверхности довольно затруднительно. Это относится в первую очередь к области положительных значений σ1 , σ2 , σ3.
Особые трудности возникают при построении поверхности, соответствующей состоянию разрушения, так как может проявиться влияние истории нагружения. Разрушение может произойти раньше или позже в зависимости от того, в какой последовательности и в какой пропорции возрастали параметры напряженного состояния, в частности, главные напряжения σ1, σ2 и σ3. Получается так, что эта поверхность не определяется однозначно величинами трех параметров.

Наконец, есть еще одна причина, по которой изложенный подход не получает практической реализации. Эта причина заключается в том, что даже если предельные поверхности для какого-то материала и построены, то пользоваться ими в практических расчетах весьма затруднительно. Они должны быть тем или иным способом переложены на плоские графики, или представлены в виде простых аппроксимирующих функций.

Таким образом, при описанном подходе дело сводится к отысканию метода, позволяющего произвести систематизацию экспериментальных данных и уложить их в стройную систему.

Наиболее простой и в настоящее время общепризнанной оказалась система, предложенная О. Мором. Основное упрощение, принятое в теории Мора, заключается в том, что предельное состояние считается не зависящим от промежуточного главного напряжения и определяется только наибольшими и наименьшим. Это резко упрощает анализ и переводит его из области пространственных построений на плоскость. Вместо предельной поверхности получается предельная огибающая кругов Мора, которая и рассматривается как характеристика материала. Последующее представление этой огибающей в виде прямой, касательной к предельным кругам растяжения и сжатия, позволяет вывести элементарную формулу Мора, прочно вошедшую в расчетную практику.

Главное достоинство теории Мора заключается, понятно, в подходе к вопросу. К сожалению, на эту сторону делеко не всегда обращается внимание, и часто теория Мора ставится в один ряд с общеизвестными критериальными гипотезами, а то обстоятельство, что в частных случаях расчетная формула Мора совпадает с расчетной формулой теории касательных напряжений, усиливает впечатление о равноценности этих подходов.

Между тем подход Мора, давая основы для расчета, не «закрывает» проблему. Если обнаруживаются погрешности, то всегда имеется принципиальная возможность внести в теорию дополнительные уточнения. Так, если в дальнейшем удастся провести испытания образцов в области положительных значений σ1 и σ3, то можно будет аппроксимировать предельную огибающую Мора уже не прямой, а некоторой кривой. В расчетную формулу в этом случае войдут не только характеристики материала при растяжении и сжатии, но и некоторые новые показатели, найденные в результате дополнительных испытаний.

Особое значение в последнее время такой подход приобретает в связи с широким применением в технике новых материалов. Такие материалы как стеклопластики, стеклоткани и вообще материалы, имеющие волокнистую структуру, часто работают в условиях сложного напряженного состояния. При анализе конструкций из таких материалов уже не приходится рассчитывать ни на одну из существующих теорий предельных состояний. Необходимо создавать какие-то новые теории.

Понятно, что при переходе к анизотропным материалам задача создания теории предельных состояний усложняется. Здесь трудно надеяться на удачную гипотезу, например, типа гипотезы максимальных касательных напряжений, и несомненно быстрее приводят к цели рассуждения, построенные наподобие теории Мора. В этих случаях удается найти решение для какого-то узкого класса напряженных состояний в пределах определенной ориентации осей анизотропии.

Все сказанное о предпочтительности описательного подхода к вопросам предельного состояния не зачеркивает практического значения некоторых гипотез. Такие, как гипотеза максимальных касательных напряжений или энергии формоизменения прочно вошли в расчетную практику и представляют большие удобства при решении многих задач.

Гипотеза энергии формоизменения приобрела особое значение в связи с созданием и развитием теории пластичности. В теории пластичности, как и в теории упругости, основополагающей является зависимость между компонентами напряженного и деформированного состояний. Разница только в том, что в теории упругости эта зависимость записывается в элементарной форме закона Гука, а в теории пластичности она носит сравнительно сложный характер и устанавливается на основе правдоподобных гипотез аналогично тому, как это делается при создании теории предельных состояний. Эта аналогия не является формальной. Она полностью отражает существо дела. Теория пластичности является развитием теории предельных состояний. Пластическая зона сопрягается с упругой.

Та граница перехода, которая существует между применимостью закона Гука и вступлением в действие законов пластического деформирования, определяется теорией предельных состояний. Условия сопряжения являются одновременно условиями перехода из упругого состояния в пластическое.

Исторически исследование вопроса складывалось так, что создание теории предельных состояний предшествовало теории пластичности. Теория пластичности явилась, по существу, развитием полученных ранее предельных соотношений в область пластичности.

Это развитие (продолжение), может быть, вообще говоря, проведено различными путями. Наиболее удобной и распространенной в настоящее время является логическая схема, построенная на основе соотношений, вытекающих из гипотезы энергии формоизменения. Сущность этого подхода сводится к следующему: величина

2015-04-23 22-32-44 Скриншот экрана

согласно теории энергии формоизменения определяет переход из упругого состояния в пластическое. В пределах упругой зоны в соответствии с законом Гука имеем

2015-04-23 22-34-04 Скриншот экрана

а коэффициент Пуассона принят равным 0,5. Величина σi называется интенсивностью напряжений, а  ε— интенсивностью деформаций.

За пределами упругости соотношение (1) можно написать в виде

σi = Е' εi                   (2)
где Е' — переменный модуль, зависящий от напряжений и деформаций.

Основное предположение деформационной теории пластичности сводится к тому, что зависимость (2) является единой для всех напряженных состояний. Это достаточно хорошо подтверждается опытом. На основе такого предположения определяется модуль

2015-04-23 22-41-41 Скриншот экрана
а далее формальной подстановкой Е' вместо Е получаются взамен закона Гука новые соотношении между компонентами напряженного и деформированного состояний для пластической воны:

2015-04-23 22-45-45 Скриншот экрана

Далее формально будет определена зависимость между компонентами напряженного и деформированного состояний.

Нет оснований сомневаться в том, что для зависимости (3) может быть, так же как и для зависимости (2), найден класс напряженных состояний, в пределах которого написанные  соотношения могут рассматриваться как универсальные.

Другое дело, что для практического применении теория, построенная на основе гипотезы максимальных касательных напряжений, часто менее удобна, чем теория, основанная на гипотезе энергии формоизменения. Эти неудобства связаны с разрывным изменением ориентации плоскости максимальных касательных напряжений в зависимости от сравнительной величины трех главных напряжений. Если в некоторой области пространства промежуточное главное напряжение σ2 стало больше максимального σ1 или меньше минимального σ3, то одновременно со сменой индексов главных напряжений меняется и ориентация плоскости максимальных касательных напряжений. Пространство, таким образом, делится на зоны, различие можду которыми определяется только ориентацией наибольшего и наименьшего из главных напряжений. При анализе пластических доформиций, возникающих в теле, необходимо постоянно следить за расположением этих зон, что, естественно, усложняет решение.

Теория пластичности, базирующаяся на гипотезе энергии формоизменения, свободна от указанного недостатка, поскольку в выражении σi и εi  все компоненты напряженного и деформированного состояний входят как равноправные.

Возвращаясь к принципам построения теории пластичности, следует еще раз подчеркнуть, что здесь возможны самые различные и в то же время практически равноценные подходы. Основная задача в теории пластичности заключается в том, чтобы из этих подходов выбрать наиболее универсальные, подкрепленные широко поставленными экспериментами.

Все то, что говорилось выше о теории предельных состояний и теории пластичности, имеет довольно длительную историю, и, анализируя то, что уже утвердилось в расчетной практике, мы не должны обходить молчанием развивающиеся направления.

Хочется отметить, что за последние годы методы механики частично внедряются в те области, которые традиционно относились к физике твердого тела. Это прежде всего теория развития трещин, на основе которой представляется возможным в дальнейшем, если не решить проблему в целом, то во всяком случае уточнить наши представления о хрупком разрушении. Казалось бы, что всякая попытка подойти к этому вопросу с помощью средств механики деформируемого тела заранее обречена на неудачу. Контурная зона трещины представляется нам в виде весьма узкой щели, ширина которой соизмерима не только с размерами кристаллических зерен, но и с межатомными расстояниями. Поэтому схема сплошной среды, лежащая в основе аналитического аппарата, при столь тонких геометрических особенностях явно не применима, а формальное ее использование приводит к результатам, не имеющим физического смысла.

Тем не менее, допустим следующий подход. Представим себе, что трещина уже развилась настолько, что охватила несколько десятков кристаллических зерен, укладывающихся на длине I (рис. 59).

2015-04-23 22-54-57 Скриншот экрана

Выделим краевые участки длины а и будем считать, что на этих участках еще в какой-то мере сохраняются неизвестные нам силы межатомного сцепления. Картина получается такой же, как и при отдирании ленты лейкопластыря (рис. 60).

2015-04-23 22-56-09 Скриншот экрана

На участке а сохраняется некоторое взаимодействие между лентой и основанием благодаря не полностью разорвавшимся частицам клейкого вещества. После того как введены силы сцепления, принципиальные трудности снимаются. Структурные особенности материала учитываются некоторой интегральной характеристикой сил сцепления, а напряженное состояние вблизи края трещины уже не имеет тех неустранимых особенностей, которые мы неизбежно получаем для области, имеющей острый входящий угол.

Естественно, что для различных материалов область распространения этих сил и их величина будут различными. Связь их с уже известными характеристиками материала остается пока не ясной. Поэтому требуется введение новой константы, а может быть, и нескольких, характеризующих поведение материала вблизи края трещин. Анализ развития трещин в простейших, воспроизводимых на опыте случаях подсказывает методы экспериментального определения этих констант.

В настоящее время при помощи описанного подхода удается получить условия развития или стабилизации одной трещины, расположенной в массиве однородного тела. Если бы удалось решить ту же задачу в условиях существования большого числа трещин со статистическим учетом их взаимного влияния, то это в сочетании с многочисленными экспериментальными исследованиями по кинетике хрупкого разрушения помогло бы сформулировать новые, более точные принципы теории предельных состояний.

Будущее покажет, насколько оправданы поиски в этом направлении.

Что касается анализа пластических деформаций, то и в этом направлении за последние годы механика сплошной среды, внедряясь в сферу структурных особенностей поликристаллического вещества, достигла определенных успехов. При некоторых упрощающих предположениях уже можно по характеристикам отдельного кристалла предсказать вид диаграммы растяжения образца. Однако сделать это пока удается только для определенных материалов, но при этом с такими вычислительными трудностями, при которых построение каждой диаграммы выливается фактически в серьезную научную работу. Если дальнейшее развитие этого направления позволит уверенно анализировать поведение материалов в общем случае напряженного состояния, то тем самым будет дана новая трактовка не только теории предельных состояний, но и теории пластичности.