Лекция-беседа В.И. Феодосьева «Еще об устойчивости»

Мы уже убедились в том, что существуют системы, для которых задача об устойчивости по Эйлеру — Лагранжу не может быть решена. Таких примеров к настоящему времени накопилось достаточно много, и имеется возможность произвести некоторую систематизацию вопроса.

Можно сказать, что существуют два основных положения, с которыми связана «необычность» поведения некоторых систем.

Первое — это содержащееся в классическом подходе отождествление двух понятий: «потеря устойчивости" и  «существование сколь угодно близких форм равновесия».

Второе — это необходимая для классического подхода идеализация реальной системы до уровня, обеспечивающего сведение задачи к решению однородных уравнений и отысканию собственных значений.

Начнем с первого. Вернемся к примеру стержня, нагруженного следящей силой (рис. 81). 2015-04-27 20-52-54 Скриншот экранаУже было установлено, что при любых значениях силы Р стержень не имеет форм равновесия, отличных от прямолинейной. Поэтому рассмотрим более общую задачу о движении стержня.
Уравнение движения будет следующим:

2015-04-27 20-54-26 Скриншот экрана
где m — масса стержня, приходящаяся на единицу длины. Примем ее величиной постоянной. Положим далее, что

2015-04-27 20-56-08 Скриншот экрана

где функция X зависит только от координаты х.
При вещественных значениях Ω движение носит характер гармонических колебаний. Если Ω будет комплексным, т. е. Ω=a ± bi, то

2015-04-27 20-59-49 Скриншот экрана

Следовательно, движение будет происходить либо с затухающей, либо с возрастающей амплитудой в зависимости от знака b.
Подставим выражение у в уравнение движения и введем безразмерные параметры

2015-04-27 21-01-53 Скриншот экрана

В заделке, независимо от условий нагружения, имеем Х=0 и dX / dξ = 0. Следовательно,

2015-04-27 21-04-12 Скриншот экрана

Приравняв нулю определитель четырех полученных уравнений, получим

2015-04-27 21-05-25 Скриншот экрана

Для определения критического значения силы Р необходимо найти такое наименьшее β, при котором имеет место кратность корней ω уравнения (2). Это означает, что при дальнейшем увеличении β корни становятся комплексными сопряженными и существует корень с отрицательной мнимой частью, т. е.Ω=a— bi . Согласно выражению (1) это соответствует появлению формы колебаний с нарастающей амплитудой.

Проведя числовой поиск, определяем*) β=10,025  (ω=11,016)  Следовательно,2015-04-27 21-11-51 Скриншот экрана

2015-04-27 21-13-21 Скриншот экрана
Величина критической следящей силы зависит от распределения масс по длине стержня.

Чтобы обойти вычислительные трудности, рассмотрим упрощенную стержневую систему, показанную на рис. 82.

2015-04-27 21-14-34 Скриншот экрана

Два стержня, имеющих массы m1 и mсвязаны между собой пружиной жесткости С. Такая же пружина связывает нижний стержень с шарнирной опорой. Линия действия силы Р постоянно совпадает с направлением верхнего стержня. За обобщенные координаты примем углы поворота стержней φ1 и φ2. Тогда перемещения центра масс каждого стержня будут x1  = lφ1  ,  x = 2 φ1 + φ2,   где 2l — длина каждого стержня. Моменты инерции стержней относительно центральных поперечных осей будут

2015-04-27 21-30-19 Скриншот экрана

Введя силы взаимодействия в шарнире (рис. 83), составим уравнения движения.

2015-04-27 21-31-39 Скриншот экрана

Получим для верхнего стержня2015-04-27 21-33-11 Скриншот экрана

Положим, что

2015-04-27 21-35-30 Скриншот экрана

где 2015-04-27 21-36-39 Скриншот экрана
Свободный член уравнения (7) не зависит от силы Р. Это означает, что не существует такой нагрузки, при которойобращалось бы в нуль, поэтому из выражений (6) вытекает, что φ1 и φ2 не могут быть постоянными. Система не имеет форм равновесия, кроме исходной, при которой φ1 и φ2 равны нулю. Рассматриваемая стержневая система обладает тем же свойством, что и защемленный стержень, нагруженный следящей силой.

Из уравнения (7) нетрудно также установить, что величина k2 при любой силе Р остается меньше нуля. Это означает, что k не имеет вещественных значений, и условия для апериодического движения отсутствуют.

2015-04-27 21-43-31 Скриншот экрана

Если m1 =m2  , то μ=1. Тогда

2015-04-27 21-46-34 Скриншот экрана
Если масса первого стержня мала по сравнению с массой второго, то μ=0, и

2015-04-27 21-48-09 Скриншот экрана
По мере уменьшения массы верхнего стержня по сравнению с массой нижнего величина μ неограниченно возрастает. Так же неограниченно возрастает Ркр. Это и понятно. В случае отсутствия поперечных инерционных сил верхний стержень будет всегда находиться на одной прямой с нижним. В пределе система и в динамическом смысле становится устойчивой при любом значении силы Р.

Рассмотрим теперь ту же самую стержневую систему в условиях нагружения силой, сохраняющей свое направление (рис.84)

2015-04-27 21-51-05 Скриншот экрана
В этом случае взамен уравнений (3) получаем

2015-04-27 21-52-14 Скриншот экрана

Теперь свободный член этого уравнения зависит от силы и при2015-04-27 21-53-32 Скриншот экрана

обращается в нуль. Следовательно, для k возможно существование нулевых значений, и существует форма равновесия, отличная от исходной. Для критической силы получим выражение2015-04-27 21-55-38 Скриншот экрана

Таким образом, величина критической силы от соотношения масс стержней не зависит, так как параметр μ в свободный член уравнений (7) или (8) не входит и не может войти.

Два рассмотренных варианта одной и той же задачи создают впечатление, что характерным признаком применимости или неприменимости критерия ЭйлераЛагранжа является сохранение или несохранение силами заданного направления.

В действительности дело обстоит сложнее. В предыдущей главе был рассмотрен ряд примеров, в которых изменение направления приложенных сил в процессе искривления стержня не влекло за собой необходимости перехода к динамическому критерию. Мало того, имеется много примеров, по внешнему виду почти не отличающихся от рассмотренного случая со следящей силой. Тем не менее, возможность применения статического подхода в этих задачах полностью сохраняется.

На рис. 85 показана стержневая система, нагруженная двумя следящими силами.

2015-04-30 15-19-32 Скриншот экрана

Если каждый стержень повернулся на угол φ, происходит движение с ускорением. Равнодействующие инерционных сил будут приложены в центрах масс и имеют величину Рφ.

Приравнивая нулю сумму моментов сил, действующих на один стержень, относительно шарнира, получаем
Рφа = С • 2 φ,
откуда 2015-04-30 15-22-15 Скриншот экрана Таким образом, имеем форму равновесия в связанной системе координат. Любопытно, что критическая сила при этом зависит не от длины стержней, а от места расположения центра масс стержней, т. е. от величины а.

При силах, сохраняющих свое направление (рис. 86), расположение центра масс не имело бы значения.

2015-04-30 15-24-23 Скриншот экрана

В этом  случае, очевидно,

2015-04-30 15-25-27 Скриншот экрана
Очень интересен пример, предложенный Л. И. Балабухом. Однородный стержень нагружен двумя следящими силами (рис. 87).

2015-04-30 15-26-46 Скриншот экрана

Как и для системы, показанной на рис. 85, имеем равноускоренное поступательное движение, в результате которого возникает инерционная равномерно распределенная нагрузка

2015-04-30 15-28-09 Скриншот экрана

Дифференцируя два раза уравнение (9) по х и обозначая у" через z, получим уравнение

2015-04-30 15-29-50 Скриншот экрана
с граничными условиями:

при х  = 0     z = 0    и     z'=0

при х = l        z = 0    и     z'=0 .

Следовательно, критическая сила будет такой же, как и для стержня, защемленного по концам (рис. 88). Для рассмотренной симметричной формы

2015-04-30 15-33-17 Скриншот экрана

 Понятно, что этот результат верен лишь в случае, если правая часть уравнения (9) будет либо константой, либо линейной функцией х, т. е. если масса стержня распределена по его длине равномерно или же по линейному закону.

Несколько более сложной является задача об устойчивости свободного стержня, находящегося под действием тяги ракетного двигателя (рис. 89).

2015-04-30 15-35-38 Скриншот экрана

Здесь при равномерном распределении масс не существует форм равновесия в связанной системе координат. При силе 2015-04-30 15-36-43 Скриншот экранавозникают колебания с нарастающей амплитудой. Вывод этого выражения достаточно сложен и здесь мы его не приводим.

При неравномерном распределении масс, например, при массах, сосредоточенных по концам стержня (рис. 90, а), имеет место иная картина. Здесь задача сводится к обычной статической. Уравновешиваем силу Р двумя силами Р/2, приложенными к каждой массе, и вводим еще пару инерционных сил Pf/2l, возникающих при равноускоренном вращательном движении. В результате получаем систему сил, удовлетворяющую условиям равновесия (рис. 90, б). Далее легко определяется условие возникновения криволинейной формы равновесия стержня в связанной системе координат. Очевидно, это будет при 2015-04-30 15-40-19 Скриншот экрана

Аналогичная картина имеет место и для модели, состоящей из двух однородных стержней, соединенных пружиной (рис. 91).

2015-04-30 15-41-22 Скриншот экрана

Здесь момент сил 2015-04-30 15-42-16 Скриншот экранауравновешивается моментом сил, распределенных по треугольнику.

Далее, приравнивая сумму моментов сил, действующих на один стержень, моменту пружины, получаем

2015-04-30 15-43-35 Скриншот экрана

Таким образом, и при следящих силах задача об устойчивости в целом ряде случаев сводится к обычному анализу форм равновесия.

Очень интересны в этом смысле случаи нагружения упругих систем моментами. Так, например, устойчивость плоской формы изгиба защемленной одним концом полосы (рис. 92) при внешнем моменте, сохраняющем плоскость своего действия, а также и для следящего, требует динамического подхода. Форм равновесия, отличных от исходной, полоса не имеет.

2015-04-30 15-46-37 Скриншот экрана

Стержень (рис. 93), имеющий одинаковые жесткости на изгиб в плоскостях ху и xz и загруженный на конце силой Р и моментом М, соответственно сохраняющими направление и плоскость действия, не имеет форм равновесия, отличных от прямолинейной. То же самое будет и для случая следящего момента (рис. 94). Лишь при условии М=0 обнаруживается существование форм равновесия стержня с изогнутой осью.

2015-04-30 15-49-00 Скриншот экрана

Если же жесткости стержня на изгиб в плоскостях ху и xz различны, то в зависимости от величин момента М и силы Р возможен переход либо к новой форме равновесия либо к некоторой форме движения периодического характера с нарастающей амплитудой.

Задача определения условий движения, естественно, много сложнее, чем задача отыскания форм равновесия. Возникает вопрос, всегда ли для того, чтобы избежать ошибок, необходимо прибегать к громоздкому динамическому критерию? Нельзя ли найти признаки, которые позволили бы еще до решения задачи уверенно ориентироваться в особенностях  системы?

Здесь известно пока одно. Режим колебаний с нарастающей амплитудой может развиваться лишь в результате того, что работа внешних сил за один цикл не равна нулю. Это означает, что она зависит от пути, а сами силы не имеют потенциала. Такие силы называются неконсервативными. Так, в частности, если переход стержня (рис. 95) из положения а) в положение б) произведен простым поворотом торца, следящая сила совершит одну работу.

2015-04-30 15-53-29 Скриншот экрана
Если же стержень перевести в положение б) последовательно через положения а') и а"), то работа будет другой. Поэтому,если мы уверены, что силы консервативны, то при анализе устойчивости в вопросы динамики системы можно не углубляться. Если же силы не консервативны, то использование статического критерия может привести как к правильным, так и к неправильным результатам. Следовательно, дело не только в самих силах, но и в условиях их приложения.

Системы, показанные на рис. 89 и 90, отличаются только законами распределения масс. В первом случае масса стержня равномерно распределена по его длине, во втором — сосредоточена по концам. В первом случае статический метод не дает возможности определить критическую силу, во втором — дает.

Для систем, показанных на рис. 93 и 94, при различных жесткостях на изгиб в плоскостях ху и xz применение  статического метода дает возможность определить критическую нагрузку, но это не значит, что будет найдено нижнее значение критических  параметров.

2015-04-30 15-58-06 Скриншот экранаНу, а если сила может перемещаться только  по линии своего действия? Консервативна она  или нет? Почему система, показанная на рис. 96,  где сила сохраняет и линию своего действия  и направление, не имеет форм равновесия, отличных от исходной, в то же время как для ранее рассмотренного стержня (см. рис. 65, г), когда сила была направлена постоянно по нормали к жесткому диску, задача благополучно решается по Эйлеру? И в том, и в другом случае, кстати говоря, работа сил при одинаковых перемещениях получается одинаковой, поскольку силы по горизонтали не смещаются.

Казалось бы естественным говорить не о консервативности сил, а о консервативности системы. В этом случае на систему, кроме условия консервативности сил, налагаются условия стационарности связей и неявной зависимости энергии от времени. Но как это установить? Вспоминается милая шутка из далекого детства:
— Папа, как поймать птичку?
— А ты насыпь ей соли на хвост!

Обычно сомнения в консервативности системы зарождаются у исследователя лишь после того как задача решена и обнаружено, что статический подход оказался неприменимым. Не так просто догадаться, например, что системы с фиксированной плоскостью момента и со следящим моментом (см. рис. 81 и 82) неконсервативны, а вот если момент при повороте в одной плоскости будет следящим, а в другой — не следящим, то система превращается в консервативную. Такие обстоятельства мало кому известны и пока простым способом не объясняются. Поэтому признак неконсервативности и нестационарности не имеет в данном случае реальной ценности. Для того, например, и созданы признаки делимости, чтобы необходимые суждения можно было вынести, не производя самого деления. А здесь получается наоборот.

Таким образом, перед исследователями в настоящее время стоит задача сформулировать признак, по которому можно было бы, не решая задачи, сразу сказать, приведет или не приведет к необходимому результату статический подход в анализе устойчивости данной системы.

Не исключено, что необходимая информация о поведении сил, достаточная для решения задачи, может оказаться недостаточной для формулировки общего принципа. В таком случае необходимо обращаться к физическим обстоятельствам возникновения данных сил. Так, более или менее уверенно можно сказать, что статический анализ устойчивости всегда возможен, если силы, приложенные к упругой системе, возникают как следствие сил веса, передаваемых через любые механизмы. Например, в случае, представленном на рис. 65, а, сила, передаваемая на стержень, является силой веса. Силу Р, показанную на рис. 96, представить как результат воздействия сил веса не удается. В первом случае статический метод проходит, во втором — не проходит. Моменты, показанные на рис. 93 и 94, при помощи системы грузов не создаются. Если приложить силы веса так, как это показано на рис. 97, то момент при повороте коромысла в плоскости ху является следящим, а при повороте в плоскости xzне следящим. В этом случае задача решается на основе статического подхода.

2015-04-30 16-04-44 Скриншот экрана
Примеров, противоречащих такой оценке, пока не встречалось.

Итак, все, что говорилось выше, имело отношение к первой категории задач, не поддающихся решению с классических позиций ЭйлераЛагранжа. Эти задачи возникли как следствие неполной тождественности двух понятий: «потеря устойчивости» и «существование сколь угодно близких форм равновесия».

Перейдем ко второй категории задач, решение которых также требует отхода от классического метода. Это — системы, для правильного анализа которых недопустима обязательная для классического метода степень идеализации реальной конструкции.

То, чем всегда можно было пренебречь при расчете на прочность, может приобрести в вопросах устойчивости существенное значение. Это в первую очередь начальная погибь, вследствие которой форма стержня или оболочки отличается от номинальной, наличие поля остаточных напряжений, неоднородность упругих характеристик материала и некоторые другие факторы. Все эти факторы объединяются общим понятием начальных несовершенств. Они присущи любой конструкции. Вопрос заключается только в том, в какой степени и какие из этих факторов могут помешать нам воспользоваться классической схемой расчета на устойчивость.

Уже слышу возражения: какая же это устойчивость. Как можно говорить об устойчивости сжатого, но несколько изогнутого стержня? По отношению к каким возмущениям?

Прежде всего необходимо выяснить, что такое устойчивость. На этот вопрос, в зависимости от обстоятельств, можно получить различные ответы.

Прежде чем их обсуждать, рассмотрим лексический аналог. Что такое деформация? Собеседник, знакомый с русским языком, ответит, что это — всякое изменение формы, и наглядно пояснит это на любом, находящемся под руками предмете. И будет прав. Деформация в этом понимании есть качественный показатель поведения тела при воздействии внешних факторов.

Собеседник, искушенный в вопросах механики, даст деформации другое определение, а именно то, которое известно читателям из курса сопротивления материалов. Развивая это определение, он пояснит, что деформация бывает линейной и угловой, что существует понятие деформированного состояния в точке и т. д. Он, естественно, тоже прав. Деформация в таком понимании — это не качественный показатель свойств тела, а количественная характеристика состояния в точке непрерывной среды. Беседа, ведущаяся без разграничения смысловых значений понятия деформации, неизбежно приведет к недоразумениям.

Примерно так же обстоит дело с понятием устойчивости. С одной стороны, как уже говорилось, устойчивость — это свойство конструкции сохранять свое состояние при относительно малых внешних непредусмотренных воздействиях.

Но есть другое понимание устойчивости. В широких кругах ученых под устойчивостью понимается определенный раздел механики — совокупность приемов, позволяющих анализировать поведение идеальной системы при малых возмущениях. Этот раздел механики правильнее было бы называть не устойчивостью, а теорией устойчивости. Но слово «теория», как правило, опускается. Устойчивость стала символом, обозначающим определенную сферу научной деятельности, связанную с разработкой особенностей классической расчетной схемы.

Эта двойственность понятия устойчивости порождает своеобразную коллизию. С одной стороны, имеется свойство устойчивости, многолико проявляющееся в окружающей нас действительности, с другой,— классическая схема и аппарат теории устойчивости, отражающие это свойство, но не исчерпывающие его полностью.

Естественны предпринимаемые время от времени попытки уточнить расчетную схему и ввести в рассмотрение не учитывающиеся до этого факторы. Иногда это делается без должного внимания к достижениям теории, что справедливо воспринимается как вульгаризация науки и вызывает понятный протест.

Возьмем, например, утверждение: система в неустойчивом положении долго находиться не может.

С позиций человека, понимающего под устойчивостью свойство реальной конструкции, это совершенно естественное и, по существу, правильное выражение. Если же эту фразу услышит ученый, посвятивший свою деятельность разработке теории устойчивости в классическом понимании, то она будет воспринята им, в лучшем случае как нелепость, а скорее,— как проявление элементарного невежества.

Подобных примеров можно привести много. Поэтому, обсуждая вопросы устойчивости конструкций, приходится быть очень осторожным в выборе выражений и в то же время проявлять достаточную терпимость к тем высказываниям, которые на первых порах представляются явно выходящими за рамки твердо установившихся представлений.

На такую терпимость к последующим рассуждениям мы и рассчитываем.

Итак, вернемся к начальным несовершенствам.

Имеется большое число примеров, когда влияние начальных несовершенств не столь велико. Сюда относится прежде всего задача об устойчивости сжатого стержня.

На рис. 98 показана зависимость прогиба стержня f от осевой силы P для нескольких значений стрелы начального прогиба   f0 .

2015-04-30 16-24-20 Скриншот экрана

Случаю идеального стержня соответствует кривая f0 = 0.  При f0  ≠ 0 понятие критической силы теряет смысл. Это понятие свойственно только идеальной схеме. Для практических расчетов необходимо, очевидно, установить величину предельно допустимого прогиба fпр  (рис. 98). Соответственно этому прогибу для каждого f0  может быть указано определенное значение силы Рвып . Назовем эту силу силой выпучивания. Понятно, что сила выпучивания представляет собой условное понятие, характеризующее такое состояние системы, при котором начинается быстрое нарастание перемещений.

Практически расчет по силе выпучивания наталкивается на большие трудности в связи с тем, что начальный прогиб f0 неизвестен и относится к категории более или менее случайных величин. При этом правильнее даже говорить не о самом прогибе f0, а вообще о каком-то среднем уровне начальных несовершенств.

Для сжатых стержней учитывать эти несовершенства не обязательно, поскольку в пределах практически встречающихся отступлений от расчетной схемы сила выпучивания сравнительно мало отличается от критической силы. По величине последней без особых погрешностей и может быть произведен расчет.

Однако можно привести много примеров, когда нормально допустимые в производстве отклонения от номинальных размеров приводят к существенному снижению сил выпучивания по сравнению с критическими нагрузками, найденными в пределах классического подхода. К числу таких задач относятся в первую очередь задачи об устойчивости сферической оболочки, находящейся под действием внешнего давления и цилиндрической оболочки, сжатой в осевом направлении.

2015-04-30 16-35-02 Скриншот экрана
Зависимость между осевой силой Р и прогибом оболочки (безразлично какой — сферической или цилиндрической) для нескольких значений начальной величины отклонения имеет вид кривых, показанных на рис. 99. В отличие от аналогичных кривых, построенных для сжатого стержня, величина усилия выпучивания Pвып  резко зависит от f0 и оказывается существенно меньшей, чем Pкр. Как для сферической, так и для цилиндрической оболочки классическая теория дает

2015-04-30 16-37-39 Скриншот экрана
где h — толщина, a R — радиус оболочки.

Многократно проведенные опыты показали, что осевое напряжение, соответствующее началу выпучивания, имеет величину, в 3—4 раза меньшую критического напряжения. Так, для цилиндрической оболочки2015-04-30 16-39-16 Скриншот экрана

Возникающие расхождения слишком велики и слишком систематичны, чтобы их можно было объяснить случайными причинами. Довольно скоро стало ясно, что устранить эту невязку в рамках классического подхода невозможно. За последние десятилетия по мере расширения практических задач постепенно стали накапливаться и другие примеры аналогичных систем.

Но, конечно, две упомянутые задачи являются не только типичными в этом смысле, но вместе с тем и наиболее важными с практической точки зрения.

Возникает вопрос, как подойти к решению подобных задач. Необходимо, очевидно, менять сам подход и сформулировать какой-то новый критерий устойчивости.

Можно сохранить основное положение классической постановки и рассматривать систему как совершенную, но принять, что возмущения, налагаемые на систему, являются не бесконечно малыми, а малыми, но конечными.

В классической постановке определяются условия, при которых существуют формы равновесия, бесконечно близкие к исходной. При этом остается открытым вопрос о том, что будет, если системе сообщить большее отклонение. Может быть, существуют и другие формы равновесия, тоже близкие к исходной, но уже не сколь угодно близкие. Анализ этого вопроса стали называть, как уже говорилось, анализом устойчивости в большом.

Поскольку в этом подходе мы отказываемся от учета случайных отклонений от идеальной схемы, задача резко упрощается. В то же время она остается существенно более сложной, чем в классической постановке, так как теперь необходимо рассматривать большие перемещения, и уравнения равновесия получаются нелинейными. Взамен семейства кривых, показанных на рис. 98 и 99, мы получаем одну кривую, соответствующую значению f0=0 (рис. 100).

2015-04-30 16-43-48 Скриншот экрана
Для сжатого стержня постановка в большом приводит, очевидно, к тем же результатам, что и классическая. Здесь при Р < Pкр  существует единственная форма равновесия стержня с прямой неискривленной осью.

Для цилиндрической и сферической оболочек дело обстоит иначе. При некотором усилии Р > Pкр2  возможно существование трех форм равновесия. Первая из них — это исходная форма без дополнительных прогибов (точка а на прямой ОА, рис. 100,6). В классическом понимании эта форма остается устойчивой до значений Р=Ркр1. Далее, имеется неустойчивая в том же классическом понимании форма (точка b на кривой АВ). Наконец, точка с дает еще одну устойчивую форму равновесия.

В интервале Ркр2  < Р < Pкр1  оболочка устойчива в классической постановке (в малом), но неустойчива в большом. Если системе сообщить достаточно малые возмущения, то она, будучи в дальнейшем предоставленной сама себе, вернется к исходной форме равновесия. Если же системе сообщить большее отклонение, то при достаточной величине возмущений она перейдет к новой устойчивой форме равновесия (точка с), расположенной за потенциальным барьером.

Таким образом, в результате анализа устойчивости в большом устанавливается интервал значений нагрузок, внутри которого, в зависимости от величины возмущений, возможен переход к новому состоянию, т. е. потеря устойчивости. При практических расчетах по этому критерию не остается ничего иного, как ориентироваться на нижнюю границу интервала нагрузок, в частности, для цилиндрической и сферической оболочек—на величину Pкр2 . Эта величина носит название нижнего критического усилия.

В качестве примера можно привести целый ряд систем, которые не поддаются анализу с классических позиций, но поведение которых успешно может быть объяснено на основе критерия устойчивости в большом. Сюда относится задача об устойчивости сжатого между двумя плитами стержня, имеющего плоские торцы (рис. 101).

2015-04-30 16-52-00 Скриншот экрана

Переход к формам равновесия I и II должен анализироваться в большом, а переход к форме III можно анализировать в малом. Стержень, прижатый к жесткому основанию распределенными силами интенсивности q и сжимаемый продольной силой Р, всегда устойчив в малом, но при достаточно большой силе Р — неустойчив в большом (рис. 102).

2015-04-30 16-53-42 Скриншот экрана
Рассмотренное ранее тонкое кольцо, стянутое по внешней поверхности гибким тросом (см. рис. 74), всегда устойчиво в малом. Однако начиная с некоторого значения силы Р оно становится неустойчивым в большом.

Первые шаги в области нелинейной устойчивости были весьма многообещающими. В частности, для цилиндрической и сферической оболочек нижняя критическая нагрузка при первых же расчетах оказалась близко совпадающей с теми значениями предельных нагрузок, которые определяются из опыта. Это вначале дало повод думать, что в реальных условиях начальные несовершенства и случайные возмущения таковы, что переход к новым найденным формам равновесия практически реализуется уже тогда, когда нагрузка достигает нижнего критического значения.

В дальнейшем, однако, обнаружилось, что это совсем не так. Чем глубже проникали исследователи в сущность этих задач и чем точнее проводилось решение, тем ниже опускалось расчетное значение нижней критической нагрузки.

Например, для сферической оболочки значение нижнего критического давления, найденное интегрированием на электронно-цифровой машине уравнений пологой оболочки в пределах осесимметричных форм равновесия, оказалось в 10 раз меньшим верхнего критического давления. Совершенно очевидным является существование осесимметричных форм равновесия при отрицательном давлении. Мы имеем в виду форму равновесия, соответствующую вывернутой наизнанку сферической оболочке. Эта форма, естественно, может быть описана только уравнениями непологой оболочки. Более заметное снижение нижних критических нагрузок дадут, по-видимому, несимметричные формы равновесия.

При выполнении практических расчетов в этих условиях ориентация на нижнюю критическую нагрузку теряет всякий смысл. Интервал между верхним и нижним значениями критических нагрузок в ряде случаев настолько широк, что даже в самом первом приближении никого не может удовлетворить.

Таким образом, несмотря на то, что постановка устойчивости в большом сильно расширяет наши представления и многое объясняет, ее нельзя признать исчерпывающей. А в ряде случаев для практических расчетов она оказывается также неприемлемой, как и классическая постановка.

Проводя расчет по классической схеме, мы можем получить критические нагрузки, существенно превышающие истинные нагрузки выпучивания. С другой стороны, если ориентироваться на низшую критическую нагрузку, подсчитанную в большом, то можно получить столь же большую ошибку, но другого знака. Поэтому на практике в подобных случаях предпочитают ориентироваться в основном на результаты эксперимента. Так, в частности, обстоит дело с цилиндрической и сферической оболочками.

В конечном итоге все упирается в один и тот же вопрос: к сколь существенным погрешностям приводит пренебрежение реально существующими начальными несовершенствами? Если же эти несовершенства учитывать, то за этим незамедлительно следует ломка основных концепций, обеспечивающих современной теории устойчивости математическую строгость и определенность количественных оценок. Вот почему так трудно решается этот вопрос в настоящее время. Но дело, конечно, не только в этом. Ведь начальные несовершенства нам неизвестны. Они меняются в пределах некоторых допусков, установленных на основные технологические операции, и проследить за ними весьма не просто.

Как и в вопросах прочности, не новой является попытка направить исследования устойчивости в русло вероятностного подхода. Можно поставить задачу в пределах пренебрежимости начальными несовершенствами и рассматривать как вероятные только возмущения, сопутствующие процессу нагружения.

Возможности такого подхода весьма ограничены. Имеется аналогия. Вода, вылитая в области водораздела, потечет в ту или иную сторону в зависимости от начальных условий водостока, а не последующих возмущений. Таким образом, решающую роль в этом вопросе играют все-таки начальные отклонения от номинала.

Попытки учесть начальные несовершенства статистически также имеют пока мало шансов на успех. Об этом достаточно было сказано в главе III («От расчетной схемы к реальной конструкции» — прим. ред), где обсуждался вопрос о вероятностном подходе к вопросам прочности. Основания к такому прогнозу, по существу, те же самые.

Об этом приходится напоминать в связи с тем, что значение вероятностного подхода часто переоценивается, и существует совершенно реальная угроза того, что труд, затраченный на поспешное создание математических средств предсказания потери устойчивости как вероятного события, окажется напрасным, поскольку необходимые для расчета функции распределения начальных несовершенств остаются неизвестными даже в тех немногих случаях, когда их можно отнести к категории случайных параметров. Инженер-практик затратам на изучение скоротечных функций распределения безусловно предпочтет в сомнительных случаях более жесткий контроль за качеством изготовления, а то и попросту изменение конструкции.

Что же делать? По-видимому, для ряда наиболее ответственных задач развитие практических расчетов конструкций на устойчивость связано с необходимостью частичного учета основных начальных несовершенств в пределах допуска. Рассуждения могут быть построены по схеме «внешний» — «внутренний» параметры (см. гл. III).

Положим, например, сжимается осевыми силами короткий шарнирно закрепленный стержень. График зависимости между силой Р и сближением торцев λ имеет вид кривой с быстро нарастающими прогибами, если стержень нагружается мертвым грузом, или кривой, имеющей максимум силы, если нагружение прессовое, т. е. если фиксируется сближение торцев. В зависимости от обстоятельств предельное состояние может быть определено либо по условию быстрого нарастания прогибов, либо по условию максимума силы Р. Естественно, нас не может смущать то обстоятельство, что понятие предельного состояния остается при этом не сформулированным. Исследователь волен выбрать на диаграмме характерную точку по своему усмотрению в зависимости от обстоятельств дела. Величина силы в этой точке будет в такой же мере характерна для системы, как предел текучести или предел прочности характерны для диаграммы испытания материалов. И в соответствии с точностью исходных предпосылок, и в соответствии с общим духом построения науки о прочности конструкций такой подход к вопросу является совершенно естественным.

Вопрос о том, вписывается ли такой подход в цикл вопросов устойчивости или не вписывается, не так уж и важен. Тот, кто рассматривает устойчивость как свойство системы, считает, что имеет дело с задачей устойчивости. Тот, кто рассматривает устойчивость в духе классического подхода, выносит обычно такую постановку за пределы привычных представлений об устойчивости.

Величина нагрузки, принятой в качестве предельной, зависит от начальной погиби. Если стержень предварительно изогнут по одной полуволне, то эта зависимость, как показывают расчеты, оказывается существенно более заметной, чем в том случае, когда стержень изогнут по двум или трем полуволнам. Система, таким образом, обладает избирательностью по отношению к формам начальных несовершенств. Можно с достаточной уверенностью утверждать, что подобная избирательность свойственна вообще всем системам. По-видимому, наибольшее влияние оказывают формы начальной погиби, наиболее близкие к формам потери устойчивости в классическом понимании.

Свойство избирательности существенно упрощает дело. Прежде всего имеется возможность выразить начальную погибь не системой функций, а всего одним или двумя геометрическими параметрами, которые могут быть в дальнейшем взяты под контроль. В некоторых случаях это и делается. Например, назначается допуск на величину начальной погиби стержней, которым в конструкции предстоит работать на сжатие.

В более сложных случаях необходимо, очевидно, провести анализ системы с целью выяснения видов несовершенств, влияющих решающим образом на несущую способность, и установить параметры, характеризующие эти несовершенства. Далее должен быть найден метод производственного контроля и установлен допуск на параметры несовершенств при этой системе контроля. При известном допуске расчетным путем может быть предсказана и величина предельных нагрузок.

Современная электронно-цифровая вычислительная техника позволяет в полной мере реализовать указанный подход. Наиболее подходящим для этого является сведение системы к конечному числу степеней свободы с последующим интегрированием по времени или по параметру нагрузки шаг за шагом. Потеря устойчивости рассматривается уже не как результат совокупного существования форм равновесия, а как процесс, протекающий во времени. Более подробно об этом будет сказано в следующей главе.

Очень ценно то, что при таком подходе результат определяется в прямой зависимости от истории нагружения. Это особенно важно для случая комбинированного нагружения, а также для пластически деформируемых систем, где важна не только последовательность нагружения, но и последовательность налагаемых возмущений.

На этом вопросе следует остановиться подробнее, так как задача устойчивости конструкций, работающих за пределами упругости, находится в настоящее время в столь же неподготовленном для практических расчетов состояний, как и задачи об устойчивости сферической и цилиндрической оболочек.

До сих пор задачи устойчивости, связанные с возникновением пластических деформаций, решаются на основе традиционного подхода, выработанного для упругих систем. Решение сводится обычно к определению приведенной жесткости стержня или оболочки на изгиб или кручение, после чего система рассматривается как упругая.

Только сравнительно недавно был осознан тот факт, что устойчивость системы при наличии пластических деформаций подчиняется другим принципам. Наибольшая нагрузка, которую способна выдержать конструкция, колеблется в довольно широких пределах в зависимости от истории нагружения и последовательности производимых проб. Если отказаться от учета начальных несовершенств и характерных возмущений, то мы можем найти только интервал значений предельной нагрузки, подобно тому как это получается при оценке устойчивости в большом сферической и цилиндрической оболочек.

Следовательно, для решения задачи необходимо ввести в пределах допуска начальные несовершенства и рассмотреть нагружение системы как процесс. Задача, таким образом, полностью согласуется с возможностями машинного метода. В условиях ползучести и при динамическом нагружении применение машинного (шагового) метода является само собой разумеющимся.

Однако не следует придерживаться той точки зрения, что метод анализа по шагам следует применять во всех случаях. Этот метод возник в результате необходимости рассчитывать системы с учетом нелинейности и начальных несовершенств. Понятно, что многие задачи, легко поддающиеся анализу с позиций классического подхода, решались и будут по-прежнему решаться на основе критерия Эйлера — Лагранжа. Те задачи, где необходимо рассматривать не формы равновесия, а формы движения, будут, очевидно, решаться на основе динамического критерия.

Что же касается задач, решение которых связано с учетом роли начальных несовершенств, то здесь будущее, по-видимому, принадлежит машинному методу.