Лекция-беседа В.И. Феодосьева «Расчет конструкций и электронно-цифровые машины»

Прежде чем освоить дифференциальное и интегральное исчисление, прежде чем создать теорию комплексных чисел и установить правила алгебраических преобразований, человек учился арифметике и осваивал те операции над числами, которые мы называем элементарными.

Естественно, что арифметика, как средство для проникновения в сущность явлений, не обладает теми возможностями, которые открывают перед человеком методы математического анализа. С течением времени при решении все более и более сложных задач арифметика отошла на второй план, уступив главенствующее место многим другим разделам математики.

Значимость результатов, полученных при помощи новых, более совершенных средств, меняла и отношение к оценке степени важности различных математических дисциплин. И хотя никто и никогда не отрицал желательности доведения результатов исследования до числа, тем не менее операциям с числами стало отводиться подчиненное место. Эти операции стали рассматриваться как заключительные, наиболее тривиальные. От них в ряде случаев можно было отказаться. Их всегда можно было поручить менее квалифицированным работникам. Конечно, если ученый умел сам производить сложные вычисления, это оценивалось как положительный, но далеко не обязательный фактор.

Внедрение в жизнь электронно-цифровой вычислительной техники совершило переворот в средствах анализа, в методах изучения явлений природы, во взглядах на трудность и простоту задач, в оценке характера самой научной работы. Глубина совершенного переворота до сих пор далеко не всеми осознана. Еще и сейчас многие обращаются к машине только тогда, когда в процессе решения задачи обнаруживается большой объем вычислительной работы. Машина рассматривается при этом не более как техническое средство, родственное логарифмической линейке и арифмометру, но с несравненно более высокими характеристиками.

Этот взгляд рожден силой привычки видеть решение задач механики в аналитической форме, когда операции с числами являются заключительными. Отсюда вытекает и стремление многих ученых не вникать в процесс программирования и перепоручать его инженерам-вычислителям и аспирантам. Мы слишком привыкли к тому, что связь между величинами, характеризующими причины и следствия, лучше всего выражать при помощи формул, вывод которых и представляет собой одну из форм научного поиска. В связи с этим особенно ценится искусство ученого, умеющего найти надлежащую подстановку, понизить порядок уравнения или свести решение к табулированным функциям.

Но если взглянуть на вопрос с более общих позиций, то так ли уже много значит выносливость и искусство исследователя-землепроходца, умеющего находить незаметные таежные тропы, после того как на вооружение экспедиций взят вертолет? Понятно, что все положительные качества искателя в новых условиях технического прогресса сохраняются, но место им отводится уже другое.

Электронно-цифровая машина обладает столь высокой степенью быстродействия, что количество уже переходит в качество. Машина становится средством изучения явлений и возникает новая отрасль математики — машинный анализ. Естественно, что аналитический метод и метод машинного анализа не могут и не должны противопоставляться один другому. Они являются взаимопроникающими и дополняющими друг друга. Тем не менее при решении практических задач механики и проектирования конструкций дальнейшее развитие цифровых машин уже в ближайшем будущем, несомненно, обеспечит машинному анализу доминирующее положение.

Внедрение электронно-цифровых машин заставляет произвести переоценку многих привычных понятий.

Всегда, например, считалось большой удачей, если решение уравнений сведено к табулированным функциям. Но машина в таблицах не нуждается, и это — большой шаг вперед.

Действительно, сколь далеко находится предел целесообразного табулирования?

Мы имеем прежде всего тригонометрические, показательные и гиперболические функции. Это — функции, к которым мы обращаемся повседневно. Далее идут также широко применяемые в механике функции Бесселя и их различные модификации: ber х, bei х, ker х, kei х и др. При решении некоторых задач приходится иметь дело с таблицами эллиптических интегралов, таблицами эллиптических функций, сферических функций, с таблицами интегрального синуса и т. д.

Естественно, что с расширением круга решаемых задач возрастает число исследованных и табулированных функций. Создается положение, при котором уже трудно не только знать сами функции, но трудно удержать в памяти или искать в обобщающих справочниках, какие из этих функций табулированы и притом — при каких значениях параметров. 

Электронно-цифровая машина освобождает нас от этого бремени. Для определения тригонометрических и показательных функций машина каждый раз наново производит вычисления по стандартной, заранее составленной программе. Что же касается уравнений, заведомо сводящихся к другим знакомым табулированным функциям, например, бесселевым, то обычно бывает проще запрограммировать решение по заданным начальным или граничным условиям, чем подбирать подстановку и вырабатывать алгоритм для вычисления соответствующей бесселевой функции.

Еще недавно бывало так, что если ученый не заметил подходящей подстановки и не свел уравнение к табулированным функциям, то задача оставалась нерешенной. Теперь можно получить широкое обобщающее решение, даже не зная того, что совсем рядом находились изученные функции, носящие чье-то имя, кем-то кропотливо табулировавшиеся. Все это, образно говоря, остается в нижнем археологическом слое.

Соответственно меняется и отношение к искусству выбора подстановки, поскольку цели ее становятся другими. Очень важно, например, свести уравнения к виду, имеющему наименьшее число параметров, чему предшествует обязательный переход к безразмерной форме. Важна не простота написания уравнения и не легкость его визуального восприятия, а методическая простота составляемого алгоритма. Для этого вовсе не обязательно, а в ряде случаев и не нужно исключать в системе неизвестные и сводить решение задачи к одному уравнению. Напротив, обычно более удобно бывает сохранить последовательность уравнений с несколькими неизвестными и возложить на машину операции подстановки от уравнения к уравнению.

Машинные методы и, особенно, приемы программирования для человека со сложившимися научными взглядами образуют некоторый психологический барьер, для преодоления которого требуются определенные усилия. Поэтому темпы внедрения машинных методов в сферу задач упругости и пластичности повсеместно отстают от тех возможностей, которые представляет нам современный уровень развития машинной техники. Часто приходится наблюдать неосновательную приверженность к аналитическим методам, в то время как быстрее, а главное, с большей полнотой можно получить решение при помощи машины.

Для оправдания этой приверженности наиболее распространенной является ссылка на то, что машина дает только численное решение для фиксированных значений входных параметров, не вскрывая их взаимосвязи, а аналитические методы, напротив, дают решение в замкнутой форме.

Вот по этому поводу и хочется сделать некоторые замечания.

Общность или не общность, о которой здесь идет речь, характеризуется возможностью или невозможностью проводить решение вне предположения о числовых характеристиках рассматриваемой конструкции.

2015-05-05 22-37-14 Скриншот экрана

Так, если определяется прогиб консоли (рис. 103) под действием силы Р, то, независимо от числовых значений Е, I и J получаем

2015-05-05 22-38-20 Скриншот экрана Ну, а машина? Ее решение точно так же не зависит от числовых значений Е, I и J , если только разумно ею пользоваться.

Приведем дифференциальное уравнение упругой линии балки2015-05-05 22-40-10 Скриншот экрана к безразмерной форме, положив для этого2015-05-05 22-41-00 Скриншот экранаТогда2015-05-05 22-41-43 Скриншот экрана После интегрирования получим результат2015-05-05 22-42-41 Скриншот экранаобладающий той же степенью общности, что и аналитическое решение.

Конечно, такой пример слишком прост. Рассмотрим другой. Определим период собственных колебаний маятника при больших амплитудах (рис. 104).2015-05-05 22-43-52 Скриншот экрана
Решение этой задачи сводится к дифференциальному уравнению2015-05-05 22-44-53 Скриншот экрана (1), из которого определяется «в замкнутой форме» значение периода собственных колебаний2015-05-05 22-46-23 Скриншот экрана(2) где θ — аргумент эллиптического интеграла, а k — его модуль, связанный с амплитудой колебаний. Для эллиптических интегралов существуют таблицы, составленные в зависимости от верхнего предела интеграла и модуля k.

Если обратиться к численному машинному решению, то вместо аргумента t следует ввести безразмерное время2015-05-05 22-49-35 Скриншот экранаи тогда, взамен уравнения (1), получим 2015-05-05 22-50-21 Скриншот экрана

Полагая, что в начальный момент времени скорость dφ/dt равна нулю, а угол φ равен заданной амплитуде, проводим на машине численное интегрирование до первой перемены знака скорости. Тем самым определяется величина полупериода. Повторяя вычисления, получаем зависимость периода от амплитуды в виде таблицы. Найденная зависимость не только ни в чем не уступает выражению (2) в общности, но и превосходит его своей непосредственностью.

Таким образом, понятие общности и замкнутости являются условными. В то же время, выбор метода выходит за рамки вкусов и привычек и должен быть отнесен к сфере принципиальных вопросов. Надо помнить, что в настоящее время все труднее среди новых задач найти такие, которые могли бы быть решены без применения машин, хотя, конечно, такие находки вполне возможны. Но не в поиске отдельных «жемчужин», а в создании более или менее универсальных методов мы видим задачу современной механики. И здесь, как нам представляется, решающее слово принадлежит машинной технике.

Если машина включается в процесс исследования как составная часть логического аппарата, то естественно, что методы анализа должны меняться. Те тропы, по которым прежде ходили с вьюками, для машины, конечно, оказываются не удобными. Быстрее к цели приводят объездные серпантины, может быть, более длинные с виду, но более короткие по существу.

То, что прежде считалось сложным, оказывается простым. То, что представлялось совершенно незыблемым и необходимым, оказывается необязательным, а в ряде случаев, и просто лишним. Возникают другие признаки и другие оценки.

Так, например, всегда считалось, что нелинейность является характерным признаком, по которому можно судить о сложности задачи. Сейчас можно сказать, что нелинейные задачи не столь уже страшны. Во всяком случае, та нелинейность, с которой приходится встречаться при решении практических вопросов, связанных с расчетом конструкций, не порождает непреодолимых трудностей.

Анализ динамического процесса в деформируемых системах представляется, как правило, более сложным, чем анализ форм равновесия. Применение электронно-цифровых машин стирает эту грань и в некоторых случаях оценка сложности может оказаться противоположной.

Но достаточно! Все, что можно было сказать о «комфортабельности» машины, по-видимому, сказано. А какова ее «проходимость»? Таким ли уже гладким и беспрепятственным будет путь на машине? Освобождает ли нас машина от необходимости владеть аналитическим аппаратом? И, наконец, всегда ли обращение к машине символизирует нечто передовое и прогрессивное?

Конечно же, нет! Одно дело — говорить о пользе машины и не знать, с какой стороны подойти к пульту, и совсем другое—трезво и органически связать свой научный поиск с возможностями существующих машин.

Часто, к сожалению, наиболее общие суждения о машинной технике, о ее месте в науке и вообще в жизни человеческого общества высказываются людьми весьма поверхностно знакомыми с машинной техникой, с жизнью вычислительных центров и с атмосферой творческого поиска. Именно в этих кругах в свое время были созданы предпосылки для непонимания кибернетики. Сейчас, к счастью, от тех времен сохранилась только рудиментарная формула: «машина — это, конечно, хорошо, но человек был и всегда остается умнее ее».

Не следует здесь говорить о том, какие функции человеческого мозга можно будет возложить на машину в дальнейшем. Важнее сейчас не возлагать на нее того, что ей пока не свойственно.

Есть много действительно серьезных, по-настоящему захватывающих проблем, над которыми работают сейчас тысячи ученых. Это — и проблема распознавания образа, и обработка информации, лингвистические проблемы и многие другие.

Наша задача скромнее. Посмотрим, какие трудности возникают перед машиной в сфере механики деформируемых систем. А таких трудностей достаточно. Машина не все может. Возникают ситуации, когда машину приходится проводить «на руках», а порой просто отказываться от ее помощи. Связано это прежде всего с существованием особых точек.

Рассмотрим простейшие примеры.

На рис. 105 показана осесимметричная защемленная пластина. Для того чтобы задача выглядела посложнее, толщина пластины h предполагается кусочно-постоянной.

2015-05-05 23-02-09 Скриншот экрана

В случае а) пластина нагружена равномерно распределенной нагрузкой р, а в случае б)сосредоточенной силой Р, приложенной в центре. Требуется определить форму упругой поверхности.

Дифференциальное уравнение пластины в обоих случаях нагружения имеет вид2015-05-05 23-03-25 Скриншот экрана(3).
Здесь υ — угол поворота нормали, определяемый производной υ=dw/dr, где w — перемещение вдоль оси; далее,2015-05-05 23-06-02 Скриншот экрана
(D есть жесткость на изгиб, a Q — поперечная сила). В первом случае нагружения2015-05-05 23-07-01 Скриншот экранаа во втором2015-05-05 23-07-37 Скриншот экрана

Уравнение (3) численно интегрируется на машине, Для того чтобы не отвлекаться от существа поставленного вопроса, не будем приводить уравнения к безразмерной форме, что вообще всегда желательно, если не необходимо. Не будем также прибегать к наиболее удобному для машины методу интегрирования по Рунге — Кутта, а обратимся к простейшему интегрированию по Эйлеру. Для этого обозначим 2015-05-05 23-09-12 Скриншот экрана
и представим уравнение (3) в виде двух уравнений, написанных в конечно-разностной форме:2015-05-05 23-09-55 Скриншот экрана
Процедура решения этих уравнений представляется очевидной. Разбивая отрезок R на достаточно большое число участков, выбираем величину Δr. При г=0 угол υ=0, а величина z=z0 остается неопределенной. Зададимся этой величиной. Затем, подставляя  z и υ, полученные на предыдущем шаге, в выражения (4) и (5), находим новые Δz и Δυ .Когда величина r достигнет значения R, мы должны получить υ=0. При произвольном значении выбранного z0 этого, естественно, не произойдет. Придется подбирать новое z0 до тех пор, пока условие на контуре не будет выполнено.

Казалось бы, все ясно. А как быть с особой точкой г= 0?

На первом шаге выражение (4) принимает вид2015-05-05 23-17-02 Скриншот экрана
Но г0 и υ0 равны нулю. Рассмотрим отношение υ/г и, переходя к пределу, получим

υ/ r= z0. Следовательно,2015-05-05 23-21-25 Скриншот экрана(6)

В первом случае нагружения Q= 0 и Δz1= 0. Можно интегрировать дальше. Особенность в точке устранена, и машина из затруднительного положения выведена.

Во втором случае нагружения 2015-05-05 23-23-32 Скриншот экранаи при r, стремящемся к нулю, Q обращается в бесконечность. Величина Δz1 [формула (6)] становится неопределенной, и в начальной точке сохраняется неустранимая особенность.

Помочь машине в этом случае тоже можно, но сделать это надо на более ранней стадии, а именно при выборе расчетной схемы. Сосредоточенная сила представляет собой понятие, свойственное только расчетной схеме. Если мы пользуемся методами математического анализа, то введение сосредоточенной силы, как правило, упрощает задачу. Для машины, по крайней мере в данном случае, это оказалось плохой услугой.

Распределим равномерно силу Р на маленьком участке радиуса а вблизи центра пластины. В результате получаем измененную расчетную схему (рис. 106).2015-05-05 23-33-31 Скриншот экрана

Теперь интегрирование уравнений на машине не встречает никаких принципиальных трудностей.

Можно сказать, что это — уже другая задача. Правильно. Но что понимать под задачей? Расчет конструкции или анализ заданной расчетной схемы? В данном случае имеется в виду расчет конструкции, о чем и ведется разговор.

При определении перемещений схема, показанная на рис. 105, б, и схема, показанная на рис. 106, совершенно равноценны. Что касается закона распределения напряжений вблизи центра пластины, то ни та, ни другая схема не отражают свойств реальной конструкции, если только специально не установлен местный закон распределения внешних сил.

Обход трудностей, связанных с наличием особых точек, далеко не всегда выглядит так просто, как в рассмотренном примере. И рекомендовать здесь какие-либо универсальные приемы очень трудно. Решение в таких случаях должно строиться на умелом сочетании аналитических методов и машинного счета.

Использование машины, как видим, заранее предопределяет необходимость изменений расчетной схемы, а в ряде случаев заставляет иначе интерпретировать и вопрос о надежности конструкции. И в этом нетрудно убедиться.

Всем, например, хорошо известен метод сил, используемый при раскрытии статической неопределимости. Трудности этой задачи возрастают с увеличением числа неизвестных. Применение быстродействующих машин резко расширяет возможности расчета. Сейчас не представляет труда определить усилия и моменты в узлах 200—300 раз статически неопределимой системы. Для этого выработаны приемы быстрого подсчета коэффициентов канонических уравнений и составлены удобные алгоритмы для определения неизвестных. Между тем следовало бы задуматься над тем, что здесь количество может перейти в качество.

Действительно, считается как-то само собой разумеющимся, что раскрытие статической неопределимости производится прежде всего для выявления наиболее опасных узлов, о состоянии которых можно судить по величине возникающих напряжений. Но предположим, что напряжения в каком-то элементе n раз статически неопределимой рамы достигают предела текучести. Это означает, что снижается жесткость внутренней связи. Одно дело, если n равно двум или трем. Тогда достижение предела текучести в одном из элементов можно рассматривать как ощутимый фактор в общей оценке надежности конструкции. Другое дело, если пластические деформации возникли в одном из элементов 200 или 300 раз статически неопределимой системы. Ту часть нагрузки, которую не сможет взять на себя этот элемент, воспримут многие соседние. И не исключено, что можно терпимо отнестись к такому событию, как образование пластических деформаций в объеме одного из элементов или, тем более, в отдельных его точках.

Эту же мысль можно высказать и другими словами. Напряжения в каждом отдельно взятом элементе при многократной статической неопределимости должны рассматриваться уже не как общие, а как местные по отношению к конструкции в целом. Отсюда вытекает и соответствующее к ним отношение. Найденные таким способом напряжения, конечно, могут быть как-то использованы. Но в ряде случаев представляется более правомерным рассматривать систему, если это возможно, скорее как континуум (как сплошную среду) с введением условных осредненных напряжений.

Как бы там ни было, но из сказанного ясно, что резкое расширение вычислительных возможностей и подходы к оценке надежности конструкции связаны между собой.

Всегда было известно, что для численного решения краевая задача представляет большие трудности, чем задача Коши. Но с широким внедрением электронно-цифровых машин граница между особенностями решений этих задач обозначилась особенно резко. Покажем это на примере двух простейших задач.

Первая задача. Определить форму упругой линии однородного стержня при продольно-поперечном изгибе (рис. 107, а).
Вторая задача. Определить закон движения присоединенной к пружине массы m под действием некоторой внешней силы Р (рис. 107, б).2015-05-05 23-40-15 Скриншот экрана

Решение обеих задач сводится к одному и тому же уравнению2015-05-05 23-41-02 Скриншот экрана (7), но с различным смысловым содержанием входящих в него величин.
Для первой задачи у — перемещение балки в произвольном сечении, f(х) — функция, отражающая закон изменения изгибающего момента от поперечной нагрузки, а 2015-05-05 23-42-48 Скриншот экранагде EJ — жесткость на изгиб.
Для второй задачи у — перемещение массы в момент времени х; f(x) — функция времени, характеризующая закон изменения внешней силы Р и, наконец,2015-05-05 23-44-04 Скриншот экрана где С — жесткость пружины.

Как и в рассмотренном ранее примере с круглой пластиной, введем новое неизвестное z=y′ и заменим уравнение (7) двумя конечно-разностными уравнениями2015-05-05 23-45-59 Скриншот экрана(8)

При численном интегрировании этой системы сразу обнаруживается существенное различие между обеими задачами.

Первая задача — краевая. Функция у должна удовлетворять условиям yx=0=0 и  yx=l=0

Вторая задача является задачей Коши. Здесь задаются начальные условия. Например, в начальный момент времени, т. е. при х=0   у=0 и у' = z = 0.

Проводя процедуру интегрирования системы (8), полагаем и для той и для другой задачи  x=0  =  0

Что же касается величины z0, то в первом случае она должна быть подобрана так, чтобы при х=l перемещение у обратилось в нуль. Достигается это путем нескольких проб.

Во второй задаче величина z при х=0 задана, и функция у(х) определяется уже после первого интегрирования.

Таким образом, для машины краевая задача оказывается сложнее, чем задача Коши. Конечно, в данном конкретном случае эту сложность не следует принимать всерьез. Рассмотренные примеры являются всего-навсего моделью, иллюстрирующей различие между двумя типами задач. Но факт остается фактом. Краевые задачи, характерные для механики деформируемых систем, действительно создают трудности для машины. И чем выше порядок уравнения, тем сложнее решить краевую задачу. Например, для уравнения четвертого порядка нам пришлось бы производить подбор уже не одного, а двух начальных параметров для того, чтобы добиться соблюдения двух граничных условий на конце участка интегрирования.

Конечно, в большинстве случаев и эти трудности преодолимы. Можно построить программу, содержащую блок линейной интерполяции по двум, трем и даже четырем параметрам, и получить искомое решение. Однако, не всегда.

Рассмотрим в качестве примера цилиндрическую оболочку, защемленную по торцам и нагруженную внутренним давлением р (рис. 108).2015-05-05 23-54-52 Скриншот экрана

Дифференциальное уравнение упругой линии образующей имеет вид2015-05-05 23-55-48 Скриншот экрана(9),где w — радиальное перемещение,

Попробуем решить это хорошо известное уравнение численным методом и обратимся к описанной выше элементарной процедуре. Для этого введем обозначения:2015-05-05 23-57-03 Скриншот экрана

Тогда получим четыре конечно-разностных уравнения:2015-05-05 23-57-54 Скриншот экрана
При х=0 величина w и w1 равны нулю. Что же касается w2 и w3, то они должны быть определены подбором с таким расчетом, чтобы при х=l величины w и w1, т. е. перемещение и угол поворота обратились в нуль.

Казалось бы, все ясно. Но беда заключается именно в этом подборе двух начальных параметров. Оказывается, для достаточно длинной оболочки они должны быть вычислены со столь высокой степенью точности, что ни одна из существующих машин с этой задачей справиться не может. Объясняется это следующим обстоятельством.

Аналитическое решение уравнения (9) имеет вид2015-05-06 00-01-37 Скриншот экрана

В этом решении содержится две характерные функции: одна быстро затухающая и другая — столь же быстро возрастающая. Для того чтобы при х=l функция w обратилась в нуль, необходимо очевидно, чтобы константы С3 и С4 имели величину порядка2015-05-06 00-03-44 Скриншот экрана,которая при большом l столь мала, что лежит за пределами возможной точности вычислений. При аналитическом же решении мы просто полагаем, что С34=0, и получаем решение для области, расположенной вблизи левого торца. Аналогичным образом получается решение и для окрестности второго края оболочки.

Машина способностью к такому разделению возрастающей и убывающей функций не обладает, и поэтому описанная вычислительная процедура практически не может быть реализована. Следовательно, численное решение уравнения (9) следует строить по иному принципу.

В настоящее время для линейных уравнений такие приемы детально разработаны. Это — метод прогонки, метод деления участка интегрирования на укороченные интервалы и различные их модификации. Подробное изложение этих приемов имеется в многочисленных руководствах по численным методам.

Примеры трудностей, возникающих при решении краевых задач, можно было бы продолжить. С ними приходится встречаться довольно часто. Поэтому, готовясь к выходу на машину, очень важно во-время разглядеть возможные препятствия и обойти их либо на стадии выбора расчетной схемы, либо при построении алгоритма (процедуры вычисления) или, наконец, на стадии программирования.

Таким образом, мы видим, что машина, освобождая нас от многих ранее упомянутых обязанностей, не освобождает во всяком случае от двух: от необходимости владеть математическим аппаратом и творчески мыслить.

Мы рассмотрели довольно простые примеры, когда решение задач сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ну, а если нужно решить уравнение в частных производных?

Для линейных уравнений в частных производных одним из очевидных приемов является применение метода сеток. Тогда уравнение в частных производных заменяется системой линейных алгебраических уравнений с числом неизвестных, зависящим от числа взятых точек. Основным препятствием здесь является недостаточный объем памяти существующих машин. Для нелинейных уравнений в частных производных применение метода сеток приводит, как правило, к непреодолимым трудностям.

Поэтому в тех случаях, когда имеют в виду в дальнейшем использовать электронно-цифровую машину, предварительно стремятся свести уравнение в частных производных к одному или нескольким обыкновенным дифференциальным уравнениям. Так, например, если уравнение составлено относительно неизвестной функции w от двух независимых переменных х и у, то можно попытаться представить w в виде2015-05-06 00-07-17 Скриншот экрана(10)

Система функций fk(x) подбирается заранее с таким расчетом, чтобы, с одной стороны, наиболее полно были отражены особенности ожидаемого решения, а с другой,—удовлетворены условия на границах интервала изменения х. После подстановки w в дифференциальное уравнение последнее тем или иным способом разделяется на n обыкновенных уравнений относительно функции φk(y). Для их определения используется машина. Далее, найденные функции подставляются в выражение (10) для w и теперь в качестве неизвестных рассматриваются функции fk(х). Процедура повторяется несколько раз, пока в решении не будет достигнута определенная степень правдоподобия.

Такой подход в некоторых случаях может оказаться очень полезным, но имеет ограниченную область применения и представляет технические трудности опять в связи с необходимостью хранить в памяти машины для построения следующего приближения довольно большой объем информации.

Более совершенным, а главное, универсальным, является способ перехода от краевой задачи к задаче Коши. На этом методе стоит специально остановиться в связи с тем, что он перекликается с общей концепцией расчета на прочность, изложенной в главе III («От расчетной схемы к реальной конструкции» — прим. ред). Сущность этого метода сводится к следующему.
Перемещения u, v, w в деформируемой области аппроксимируются системой функций, содержащих некоторое число неопределенных параметров, причем безразлично, будут ли эти перемещения функциями одного, двух или трех переменных, важно лишь, чтобы при аппроксимации наиболее полно были отражены особенности ожидаемого решения и удовлетворены условия на границах области. Из соображений полноты решения выбирается и число неопределенных параметров. Возможностями машины это число, как правило, не лимитируется. Обычно для практически необходимой точности достаточно бывает 5—10 параметров (5—10 степеней свободы).
В результате, например, получаем2015-05-06 00-13-53 Скриншот экрана

где Ak — неопределенные параметры, a fk — аппроксимирующие функции. Далее, по перемещениям определяются компоненты деформаций в любой точке области:2015-05-06 00-15-48 Скриншот экрана

Связь между деформациями и напряжениями задается соотношениями упругости или пластичности. Поэтому можно найти напряжения:2015-05-06 00-16-34 Скриншот экрана

Остается использовать условия равновесия. И вот здесь делается неожиданный, но решающий для дальнейшего шаг. Составляются не уравнения равновесия, а уравнения движения, следовательно, вводится время t. Тогда получаем2015-05-06 00-17-46 Скриншот экрана

где р — плотность материала.

Используя процедуру Галеркина, умножаем первое уравнение последовательно на f1, f2 и f3, второе — на f4f5 и f6, а третье — на f7, f8 и f9, и интегрируем эти произведения по x, y и z в пределах объема деформируемой области. В результате получаем систему девяти уравнений:

2015-05-06 00-23-03 Скриншот экрана

где аkm — некоторые коэффициенты, а Lk  (A1, А2,...)—величины, зависящие от параметров А2, ... и от заданных нагрузок.

Система (14) интегрируется по шагам на электронноцифровой машине. Величины Lk определяются при этом по значениям Ak предыдущего шага также при помощи машины последовательным переходом от выражений (11) к (12), (13), (14). Еще удобнее обратиться к стандартной программе интегрирования по Рунге — Кутта, а вычисление величин Lk расположить в блоке определения правых частей.

В результате интегрирования получаем зависимость напряжений и перемещений от времени. Что касается сил, то их зависимость от времени считается заданной. В частности, в случае статического нагружения можно принять, что силы меняются пропорционально времени. Коэффициент пропорциональности при этом должен быть взят достаточно малым.

Что же дает описанный подход и в чем его преимущества?

С позиций постановки расчета конструкции характерно то, что здесь определяется «биография» системы, начиная с исходного ненагруженного состояния и до исчерпания ее работоспособности. При помощи машины создается как бы кинофильм о «жизни» конструкции взамен обычной фотографии, фиксирующей определенное состояние равновесия. В результате конструктор получает возможность гибко оценивать работоспособность конструкции и назначать рабочий режим по тем параметрам, которые оказываются решающими по существу. Иначе говоря, реализуется расчет на прочность по зависимости «внутренний — внешний параметры», т. е. именно то, о чем говорилось в главе III.

Очень существенным является то, что в описанном подходе удается полностью избежать трудностей, связанных с нелинейностью. И дело заключается как раз в том, что нагружение системы рассматривается как процесс, протекающий во времени.

В самом деле, если мы не будем вводить время t и перейдем к обычному анализу форм равновесия, то тогда уравнения (14) примут вид

2015-05-06 00-37-51 Скриншот экрана

Мы получаем, таким образом, систему уравнений, которая должна быть решена относительно варьируемых параметров Аk , что при нелинейных соотношениях и, тем более, при большом числе неизвестных практически неосуществимо. В предложенном же методе мы не ищем корни системы (15), а просто в правые части системы (14) подставляем на каждом шаге значения предыдущего шага, что всегда легко выполняется. Мало того, решение задачи по шагам освобождает нас от необходимости анализировать многозначность форм равновесия. Она исключается однозначностью истории нагружения.

Таким образом, при использовании подхода, который мы называем шаговым, практически не чувствуется различия между линейными и нелинейными системами, большими и малыми перемещениями, между статикой и динамикой. Открывается естественная возможность решения задач ползучести как процесса, протекающего во времени. Шаговая концепция является специфически машинной. В ней в настоящее время наиболее полно используются положительные стороны машины и относительно безболезненно обходятся «краевые препятствия».

Технические трудности решения задач шаговым методом относительно невелики. Они сводятся в основном к программированию. Однако имеются и некоторые специфические особенности.

Во-первых, отсутствие первых производных Ak в системе (14) приводит в некоторых случаях к возникновению колебательных возмущений, налагающихся на закон изменения параметров Ak . Поэтому иногда бывает целесообразно искусственно ввести в уравнения движения линейное затухание, коэффициенты которого выбираются не настолько большими, чтобы исказить процесс, но достаточными, чтобы погасить возмущения, связанные с начальным этапом нагружения.

Во-вторых, при шаговом методе система с распределенными массами, как мы видели, сводится к некоторой новой системе, обладающей конечным числом степеней свободы, равным числу варьируемых параметров. Естественно, что при интегрировании по времени шаг должен быть взят существенно меньшим периода собственных колебаний, соответствующего высшей парциальной частоте. С увеличением числа варьируемых параметров эта частота возрастает.

Следовательно, увеличение числа параметров увеличивает не только время счета в пределах одного шага, но также и число шагов на участке интегрирования. Необходимое машинное время при этом может оказаться чрезмерно большим, а решение — практически неосуществимым. Так, в частности, бывает в задачах, связанных c деформацией оболочки, если в уравнениях наряду с нормальными перемещениями w сохранить в явной форме перемещения u и v, парциальные частоты для которых существенно выше, чем для w.

В подобных случаях можно, конечно, выйти из затруднительного положения, перестроив тем или иным способом систему уравнений. Но если задача не является динамической по существу, то проще вместо времени t взять некоторым новый «календарный» параметр, характеризующий процесс деформирования, например, нагрузку или характерное перемещение. Это будет дальнейшим развитием и обобщением шагового метода.

Вместо процедуры Галеркина при составлении уравнений удобно бывает воспользоваться потенциальной функцией. В частности, это возможно, если в пластически деформируемом теле не возникает зон разгрузки или если они имеют несущественное влияние.

Напишем выражение полной потенциальной энергии для некоторой системы:2015-05-06 00-44-56 Скриншот экрана(16)
где σi и εi интенсивность напряженного и деформированного состояний, V — объем деформируемой области, Р — обобщенная сила, а λ — соответствующее обобщенное перемещение. В дополнение к этому имеем соотношения, связывающие деформации с перемещениями u, v и w, а также соотношения упругости или пластичности. По-прежнему представляем перемещения u, v и  (11). Из условий минимума потенциальной энергии найдем2015-05-06 00-49-29 Скриншот экрана(17)
Таким образом получаем систему нелинейных уравнений относительно неизвестных А1 , А2,...:2015-05-06 00-50-52 Скриншот экрана(18)

Эта система для сложных нелинейных систем практически неразрешима.

Переходим к шаговому методу. Параметры Ak  считаем зависящими от обобщенного «времени». Пусть это будет сила Р. Уравнения (18) должны выполняться в любой момент «времени». Поэтому2015-05-06 00-52-38 Скриншот экрана

Тогда получаем2015-05-06 00-53-28 Скриншот экрана
Но так как согласно (17)2015-05-06 00-54-23 Скриншот экранато в итоге получаем систему конечно-разностных уравнений:

2015-05-06 00-55-07 Скриншот экрана(19), где 2015-05-06 00-56-27 Скриншот экрана

Система (19) решается по шагам. Коэффициенты amk и akp вычисляются по значениям Аk предыдущего шага.

В программах, реализующих подобное решение, наиболее громоздким является вычисление коэффициентов системы (19). При нелинейной зависимости σi от εi, т. е. если задача решается в области пластических деформаций, величину /dAв выражениях вида (17) лучше определять численно, давая Ak малые приращения. То же самое следует делать и при определении коэффициентов аmk системы (19). Это достигается составлением программы по принципу «цикл в цикле». При линейной зависимости подынтегральная функция в выражениях (17) может быть выражена, как правило, аналитически. Тогда логическая часть программы упрощается.

На основе описанного подхода могут решаться многие задачи, совершенно не поддающиеся анализу другими методами. Примеры таких задач приведены в главе III.

Понятно, что шаговый метод не является единственным методом применения машин к расчету конструкций. Могут быть предложены и многие другие. Шаговый метод наиболее эффективен в области задач с явно выраженной нелинейностью. Вместе с тем его трудно применить к расчету элементов сложной геометрической формы, где не удается подобрать аппроксимирующие функции простого вида.

Заканчивая эту главу, хочется указать, что в настоящее время электронно-цифровые машины стали таким же обыденным средством познания, как автомашины — средством передвижения. И подобно тому как вождение автомашины перестало быть привилегией людей определенной профессии, так и работу с электронно-цифровой машиной не следует рассматривать как сферу деятельности одних только программистов и операторов. Машина вошла в жизнь научных центров как повседневное средство поиска, а преодоление перечисленных выше и многих других трудностей машинного анализа представляет собой благодарную область приложения ума, выдумки, энергии и изобретательности для молодого ученого.