В 1931 году А. Н. Крылов прочел несколько лекций по теории гироскопа группе слушателей Военно-Воздушной академии, специализировавшихся по аэронавигационным приборам. Дальнейшая работа над этими вопросами привела к написанию фундаментальной книги «Общая теория гироскопа и некоторых технических их применений» [Книга написана совместно с профессором Ю. А. Крутковым, которому принадлежит раздел о методах векторного анализа некоторых случаев движения гироскопов, 1932.] . Алексей Николаевич излагает общую теорию гироскопов исходя из уравнений Лагранжа в обобщенных координатах. Подробно рассмотрены свойства гироскопа Фуко, теория и расчет гироскопических маятников. Показаны приложения теории гироскопа к различного рода устройствам и приборам. Так, например, в одной из глав излагается вывод дифференциальных уравнений движения системы, состоящей из корабля, испытывающего боковую качку, и гироскопа. Изучены два примера, показывающие, как при помощи гироскопа уменьшать (гасить) колебания всего корабля или как стабилизировать платформу артиллерийского орудия на палубе корабля. Даны описание и расчет наиболее распространенных гироскопических приборов, как, например, прибора Обри, управляющего вертикальными рулями, мины Уайтхеда и заставляющего ее сохранять приданный ей при выстреле курс, гирокомпасов Аншютца, Сперри и Брауна, гирогоризонтов Гарнье и Аншютца и др. Рассмотрена теория курсовой погрешности гирокомпасов и теории их баллистических девиаций.