Балки на упругом основании

Познакомимся с основными идеями исследований А. Н. Крылова по расчету балок, лежащих на упругом основа­нии. Поводом к исчерпывающему рассмотрению этого вопроса, фундаментального для многих разделов строительной механики, послужила для Алексея Николаевича работа японского ученого К. Хаяси. В методе Хаяси для случая прерывной нагрузки или действующих сосредоточенных сил приходится подразделять бал­ку на отдельные участки, на протяжении которых не было бы скачков в кривой распределения нагрузки, т. е. вместо одной балки Хаяси приходится рассматривать столько балок, на сколь­ко участков была разделена данная непрерывная балка соответ­ственно особенностям нагружения. Вследствие этого, говорит Крылов, кроме граничных условий, выражающих род закрепле­ния концов балки, необходимо составлять для каждой точки со­единения двух участков по четыре уравнения, выражающих ус­ловия, «сопряжения», этих участков балки. Так, например, для балки, нагруженной тремя силами, в методе Хаяси надо рассмат­ривать четыре участка, и для определения шестнадцати произ­вольных постоянных, вводимых интегрированием дифференци­альных уравнений четвертого порядка, составить 16 уравнений с 16 неизвестными. Коэффициенты этих алгебраических уравнений достаточно сложны. Таким образом, метод Хаяси в некото­рых, очень важных для техники случаях практически бесполе­зен. В ряде статей, посвященных расчету балок, Алексей Нико­лаевич разработал несколько весьма эффективных методов ре­шения. В работе 1930 года все методы критически оценены, указаны пределы их применений и предложен новый, более точ­ный метод, применяемый к балкам переменного сечения при достаточно произвольной нагрузке. Этот метод является обобще­нием метода Пуассона, изложенного в его Traite de Mecanique, t. I, 1833, § 323.

Если написать основное уравнение равновесия балки, лежа­щей на упругом основании, в виде

2015-10-17 05-50-25 Скриншот экрана (1),

где    2015-10-17 05-52-01 Скриншот экрана,   то   для интегрирования этого уравнения можно поступить так.

Представим заданную функцию f (х) в виде ряда

f (х) = A1X+ A2X+ ... +AkXk + ...,

расположенного по фундаментальным функциям Релея, соответ­ствующим условиям закрепления концов балки. Тогда (1) при­нимает вид:

2015-10-17 05-59-12 Скриншот экрана (2)

Решение уравнения (2) ищем в виде ряда

2015-10-17 06-00-11 Скриншот экрана

Функции, введенные А. Н. Крыловым для решения этой задачи, удовлетворяют условию  2015-10-17 06-01-10 Скриншот экрана, где m — число, l — длина балки.

Благодаря этому

2015-10-17 06-02-25 Скриншот экрана

и решение (2) можно написать в виде

2015-10-17 06-06-58 Скриншот экрана (3)

«Так как каждая из функций ХК удовлетворяет граничным условиям, то и (3) им удовлетворяет, и, значит, это и есть ис­комое решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным ус­ловиям, притом решение единственное, т. е. всякое другое по форме решение ему эквивалентно» [А. Н. К р ы л о в, Собр. соч., т. V, стр. 279].

Если в уравнении равновесия балки

2015-10-17 06-11-05 Скриншот экрана

положить 2015-10-17 06-12-00 Скриншот экрана ,

то мы получим новое уравнение вида:

2015-10-17 06-13-00 Скриншот экрана (4)

Можно в качестве частных решений однородного уравнения (4) взять линейно независимые функции, удовлетворяющие усло­виям Коши, тогда при любом загружении балки в любых усло­виях на ее концах решение (4) не требует составления многочисленных уравнений (как в методе Хаяси), выражающих условия сопряжения в местах разрыва нагрузки и число произвольных постоянных легко приводится только к двум.

Оба приема решения быстро приводят к цели даже в очень сложных задачах, причем условия сопряжения в местах прило­жения. сосредоточенных сил автоматически удовлетворяются. Как и в большинстве своих работ, А. Н. Крылов показывает преимущества разработанных им методов на конкретных задачах, выясняя, как довести все вычисления до инженерного результа­та, т. е. до числа.